一位日本的數(shù)學(xué)教育家曾經(jīng)提出:無論科技工作者,教育工作者,或是社會的其他人才,最重要的是要有數(shù)學(xué)的精神與思想方法,而數(shù)學(xué)知識則是第二位的。這與我國古代教育家提出的“授之以魚,不如授之以漁”的思想實質(zhì)上是一致的。
在具體的數(shù)學(xué)思想方法中,“化歸思想”又是世界數(shù)學(xué)家們都十分重視的數(shù)學(xué)思想方法,因為,在解決問題的過程中,數(shù)學(xué)家往往不是直接對問題展開攻擊,而是對問題進行變形、轉(zhuǎn)化,直至把它化歸為某個(些)已經(jīng)解決的問題,或容易解決的問題。匈牙利著名數(shù)學(xué)家P•羅莎曾用以下比喻十分生動地說明了化歸思想的實質(zhì)。她寫道:“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴,現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水,你應(yīng)當(dāng)怎樣去做?”正確的回答是:“在水壺中放上水,點燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上。”接著,羅莎又提出第二個問題:“假設(shè)所有的條件都不變,只是水壺中已有了足夠的水,這時你應(yīng)該怎樣去做?”對此,人們往往回答說:“點燃煤氣,再把壺放到煤氣灶上。”但羅莎卻認(rèn)為這并不是最好的回答,因為,“只有物理學(xué)家才會這樣做,而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水,并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了,而先前的問題我已回答。”
“把水倒掉”——這是多么簡潔的回答呀!比喻有點夸張,但它的確表明了數(shù)學(xué)家思考與解決問題的一個特點,與其他應(yīng)用科學(xué)家相比,他們更善于使用化歸思想。
下面還是讓我們用一些例題來說明。
例1 雞兔同籠,籠中有頭50,有足140,問雞、兔各有幾只?
分析 化歸的實質(zhì)是不斷變更問題,這里可以先對已知成分進行變形。每只雞有2只腳,每只兔有4只腳,這是問題中不言而喻的已知成分,F(xiàn)在對問題中的已知成分進行變形:“一聲令下”,要求每只雞懸起一只腳(呈金雞獨立狀),又要求每只兔懸起兩只前腳(呈玉兔拜月狀)。那么,籠中仍有頭50,而腳只剩下70只了,并且,這時雞的頭數(shù)與足數(shù)相等,而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等——有一頭兔,就多出一只腳,現(xiàn)在有頭50,有足70,這就說明有兔20頭,有雞30頭。(我國古代算法書上就是這樣解的)
以上是從變更題設(shè)條件來尋找化歸方法的。下例則是從變更任務(wù)來實現(xiàn)化歸目的。
例2 有18瓶牛奶分放在4×6=24個方格內(nèi),每格只能放一瓶,在數(shù)牛奶瓶時要求橫數(shù)的瓶數(shù)為偶數(shù),豎數(shù)的瓶數(shù)也為偶數(shù),這件事能辦到嗎?
[注] 這個問題是1984年國際數(shù)學(xué)教育與計算機教育會議上,一位英國朋友在小組討論時提出的。當(dāng)時有兩個不相容的答案:“這件事能辦到”與“這件事不能辦到”。
分析 不妨試放一下(請用鉛筆在小方格內(nèi)打上試放符號“○”,并給出你的答案。)
可能屢試不成——瓶太多了,很難照顧全面。因此,能否用化歸思想變更題目的任務(wù):在4×6=24個方格內(nèi)打上24-18=6個不放牛奶瓶的符號(用“×”表示)。余下工作請讀者自己完成,這時你的結(jié)論一定是:這件事不僅一定能辦到,而且放置奶瓶的方法有多種,請你至少給出3種。
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