湖南省益陽(yáng)市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、(本大題共8小題,每小題4分,共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.(4分)(2013?益陽(yáng))據(jù)益陽(yáng)市統(tǒng)計(jì)局在網(wǎng)上發(fā)布的數(shù)據(jù),2014年益陽(yáng)市地區(qū)生產(chǎn)總值(GDP)突破千億元大關(guān),達(dá)到了1020 億元,將102 000 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是( )
A.1.02×1011B.10.2×1010C.1.02×1010D.1.2×1011
考點(diǎn):科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
分析:科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤a<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).
解答:解:將102 000 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為:1.02×1011.
故選:A.
點(diǎn)評(píng):此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤a<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
2.(4分)(2013?益陽(yáng))下列運(yùn)算正確的是( 。
A.2a3÷a=6B.(ab2)2=ab4C.(a+b)(a?b)=a2?b2D.(a+b)2=a2+b2
考點(diǎn):平方差公式;冪的乘方與積的乘方;完全平方公式;整式的除法.
分析:根據(jù)單項(xiàng)式的除法法則,以及冪的乘方,平方差公式以及完全平方公式即可作出判斷.
解答: 解:A、2a3÷a=2a2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(ab2)2=a2b4,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、正確;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平方差公式和完全平方公式的運(yùn)用,理解公式結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵,需要熟 練掌握并靈活運(yùn)用.
3.(4分)(2013?益陽(yáng))分式方程 的解是( 。
A.x=3B.x=?3C.x=D.x=
考點(diǎn):解分式方程.
專(zhuān)題:.
分析:分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
解答:解:去分母得:5x=3x?6,
解得:x=?3,
經(jīng)檢驗(yàn)x=?3是分式方程的解.
故選B.
點(diǎn)評(píng):此題考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
4.(4分)(2013?益陽(yáng))實(shí)施新課 改以來(lái),某班學(xué)生經(jīng)常采用“小組合作學(xué)習(xí)”的方式進(jìn)行學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)委員小兵每周對(duì)各小組合作學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行了綜合評(píng)分.下表是其中一周的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
組 別1234567
分 值90959088909285
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( 。
A.88,90B.90,90C.88,95D.90,95
考點(diǎn):眾數(shù);中位數(shù).
分析:根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義,結(jié)合表格和選項(xiàng)選出正確答案即可.
解答:解:把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為:85,88,90,90,90,92,95,
故中位數(shù)為:90,
眾數(shù)為:90.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義.
5.(4分)(2013?益陽(yáng))一個(gè)物體由多個(gè)完全相同的小正方體組成,它的三視圖如圖所示,那么組成這個(gè)物體的小正方體的個(gè)數(shù)為( 。
A.2個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.10個(gè)
考點(diǎn):由三視圖判斷幾何體.
分析:從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排,從俯視圖可以驗(yàn)證這一點(diǎn),從而確定個(gè)數(shù).
解答: 解:從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排,只能得出一共有5個(gè)小正方體,
從俯視圖可以驗(yàn)證這一點(diǎn),從而確定小正方體總個(gè)數(shù)為5個(gè).
故選;C.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了由三視圖判定幾何體的形狀,此問(wèn)題是中考中熱點(diǎn)問(wèn)題,同學(xué)們應(yīng)熟練掌握.
6.(4分)(2013?益陽(yáng))如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCDC.AB=CDD.AC⊥BD
考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì).
分析:根據(jù)平行 四邊形的性質(zhì),平行四邊形對(duì)邊平行以及對(duì)邊相等和對(duì)角相等分別判斷得出即可.
解答:解:∵在平行四邊形ABCD中,
∴AB∥CD,
∴∠1=∠2,故此選項(xiàng)正確,不合題意;
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,故B,C選項(xiàng)正確,不合題意;
無(wú)法得出AC⊥BD,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意.
故選D.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
7.(4分)(2013?益陽(yáng))拋物線(xiàn)y=2(x?3)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( 。
A.(3,1)B.(3,?1)C.(?3,1)D.(?3,?1)
考點(diǎn):二 次函數(shù)的 性質(zhì).
分析:根據(jù)頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.
解答:解:拋物線(xiàn)y=2(x?3)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,1).
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握頂點(diǎn)式解析式是解題的關(guān)鍵.
8.(4分)(2013?益陽(yáng))已知一次函數(shù)y=x?2,當(dāng)函數(shù)值y>0時(shí),自變量x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn):在數(shù)軸上表示不等式的解集;一次函數(shù)的性質(zhì).
分析:由已知條件知x?2>0,通過(guò)解不等式可以求得x>2.然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可.
解答:解:∵一次函數(shù)y=x?2,
∴函數(shù)值y>0時(shí),x?2>0,
解得,x>2,
表示在數(shù)軸上為:
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集.把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)(>,≥向右畫(huà);<,≤向左畫(huà)),數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段,如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線(xiàn)的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣,那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)“≥”,“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示;“<”,“>”要用空心圓點(diǎn)表示.
二、題(本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線(xiàn)上)
9.(4分)(2013?益陽(yáng))因式分解:xy2?4x= x(y+2)(y?2)。
考點(diǎn):提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
分析:先提取公因式x,再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.
解答:解:xy2?4x,
=x(y2?4),
=x(y+2)(y?2).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟記公式是解題的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次因式分解.
10.(4分)(2013?益陽(yáng))化簡(jiǎn): = 1。
考點(diǎn) :分式的加減法.
專(zhuān)題:.
分析:由于兩分式的分母相同,分子不同,故根據(jù)同分母的分式相加減的法則進(jìn)行計(jì)算即可.
解答:解:原式=
=1.
故答案為:1.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是分式的加減法,即同分母的分式想加減,分母不變,把分子相加減.
11.(4分)(2013?益陽(yáng))有三張大小、形狀及背面完全相同的卡片,卡片正面分別畫(huà)有正三角形、正方形、圓,從這三張卡片中任意抽取一 張,卡片正面的圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率是 。
考點(diǎn):概率公式;軸對(duì)稱(chēng)圖形;中心對(duì)稱(chēng)圖形.
分析:由正三角形、正方形、圓中既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是正方形、圓,利用概率公式即可求得答案.
解答:解:∵正三角形、正方形、圓中既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是正方形、圓,
∴既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的概率是:.
故答案為:.
點(diǎn)評(píng):此題考查了概率公式的應(yīng)用.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
12.(4分)(2013?益陽(yáng))如圖,若AB是⊙O的直徑,AB=10cm,∠CAB=30°,則BC= 5 cm.
考點(diǎn):圓周角定理;含30度角的直角三角形.
分析:根據(jù)圓周角定理可得出△ABC是直角三角形,再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出BC的長(zhǎng)度.
解答:解:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
又∵AB=10cm,∠CAB=30°,
∴BC=AB=5cm.
故答案為:5.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理及含30°角的直角三角形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理判斷出∠ACB=90°.
13.(4分)(2013?益陽(yáng))下表中的數(shù)字是按一定規(guī)律填寫(xiě)的,表中a的值應(yīng)是 21。
1235813a…
2358132134…
考點(diǎn):規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi).
分析:根據(jù)第一行第3個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)值之和,進(jìn)而得出答案.
解答:解:根據(jù)題意可得出:a=13+5=21.
故答案為:21.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,根據(jù)已知得出數(shù)字的變與不變是解題關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
14.(6分)(2013?益陽(yáng))已知:a= ,b=?2, .求代數(shù)式:a2+b?4c的值.
考點(diǎn):代數(shù)式求值.
專(zhuān)題:計(jì)算題.
分析:將a,b及c的值代入計(jì)算即可求出值.
解答:解:當(dāng)a= ,b=?2=2,c=時(shí),
a2+b?4c=3+2?2=3.
點(diǎn)評(píng):此題考查了代數(shù)式求值,涉及的知識(shí)有:二次根式的化簡(jiǎn),絕對(duì)值,以及有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
15.(6分)(2013?益陽(yáng))如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求證:△ABD∽△CBE.
考點(diǎn):相似三角形的判定.
專(zhuān)題:證明題.
分析:根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得AD⊥BC,然后求出∠ADB=∠CEB=90°,再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明.
解答:證明:在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∵CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定,等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,確定出兩組對(duì)應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵.
四、解答題(本大題共3小題,每小題8分,共24分)
16.(8分)(2013?益陽(yáng))我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí),用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長(zhǎng)最快的新品種.圖是某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚內(nèi)溫度y(℃)隨時(shí)間x(小時(shí))變化的函數(shù)圖象,其中BC段是雙曲線(xiàn) 的一部分.請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有多少小時(shí)?
(2)求k的值;
(3)當(dāng)x=16時(shí),大棚內(nèi)的溫度約為多少度?
考點(diǎn):反比例函數(shù)的應(yīng)用;一次函數(shù)的應(yīng)用.
分析:(1)根據(jù)圖象直接得出大棚溫度18℃的時(shí)間為12?2=10(小時(shí));
(2)利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可;
(3)將x=16代入函數(shù)解析式求出y的值即可.
解答:解:(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時(shí)間為10小時(shí).
(2)∵點(diǎn)B(12,18)在雙曲線(xiàn)y=上,
∴18= ,
∴解得:k=216.
(3)當(dāng)x=16時(shí),y= =13.5,
所以當(dāng)x=16時(shí),大棚內(nèi)的溫度約為13.5℃.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.
17.(8分)(2013?益陽(yáng))某校八年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)積極參加義工活動(dòng),小慶對(duì)全體小組成員參加活動(dòng)次數(shù)的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖(圖).
次數(shù)10865
人數(shù)3a21
(1)表中a= 4。
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)從小組成員中任選一人向?qū)W校匯報(bào)義工活動(dòng)情況,參加了10次活動(dòng)的成員被選中的概率有多少?
考點(diǎn):條形統(tǒng)計(jì)圖;統(tǒng)計(jì)表;概率公式.
分析:(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知a=4;
(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知6次的人數(shù)是2,然后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可;
(3)根據(jù)概率公式解得即可.
解答:解:(1)由條形統(tǒng)計(jì)圖可知次數(shù)為8的有4人,
所以,a=4;
(2)由表可知,6次的有2人,
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖;
(3)∵小組成員共10人,參加了10次活動(dòng)的成員有3人,
∴P= ,
答:從小組成員中任選一人向?qū)W校匯報(bào)義工活動(dòng)情況,參加了10次活動(dòng)的成員被選中的概率是 .
點(diǎn)評(píng):本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖,從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù).
18.(8分)(2013?益陽(yáng))如圖,益陽(yáng)市梓山湖中有一孤立小島,湖邊有一條筆直的觀光小道AB,現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD,小張?jiān)谛〉郎蠝y(cè)得如下數(shù)據(jù):AB=80.0米,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5.請(qǐng)幫助小張求出小橋PD的長(zhǎng)并確定小橋在小道上的位置.(以A,B為參照點(diǎn),結(jié)果精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin38.5°=0.62,cos38.5°=0.78,tan38.5°=0.80,sin26.5°=0.45,cos26.5°=0.89,tan26.5°=0.50)
考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用.
專(zhuān)題:.
分析:設(shè)PD=x米,在Rt△PAD中表示出AD,在Rt△PDB中表示出BD,再由AB=80.0米,可得出方程,解出即可得出PD的長(zhǎng)度,繼而也可確定小橋在小道上的位置.
解答:解:設(shè)PD=x米,
∵PD⊥AB,
∴∠ADP=∠BDP=90°,
在Rt△PAD中,tan∠PAD= ,
∴AD= ≈ =x,
在Rt△PBD中,tan∠PBD= ,
∴DB= ≈ =2x,
又∵AB=80.0米,
∴x+2x=80.0,
解得:x≈24.6,即PD≈24.6米,
∴DB=2x=49.2.
答:小橋PD的長(zhǎng)度約為24.6米,位于AB之間距B點(diǎn)約49.2米.
點(diǎn)評(píng):本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)表示出相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度,難度一般.
五、解答題(本大題共2小題,共22分)
19.(10分)(2013?益陽(yáng))“二廣”高速在益陽(yáng)境內(nèi)的建設(shè)正在緊張地進(jìn)行,現(xiàn)有大量的沙石需要運(yùn)輸.“益安”車(chē)隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車(chē)共12輛,全部車(chē)輛運(yùn)輸一次能運(yùn)輸110噸沙石.
(1)求“益安”車(chē)隊(duì)載重量為8噸、10噸的卡車(chē)各有多少輛?
(2)隨著工程的進(jìn)展,“益安”車(chē)隊(duì)需要一次運(yùn)輸沙石165噸以上,為了完成任務(wù),準(zhǔn)備新增購(gòu)這兩種卡車(chē)共6輛,車(chē)隊(duì)有多少種購(gòu)買(mǎi)方案,請(qǐng)你一一寫(xiě)出.
考點(diǎn):一元一次不等式的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用.
分析:(1)根據(jù)“‘益安’車(chē)隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車(chē)共12輛,全部車(chē)輛運(yùn)輸一次能運(yùn)輸110噸沙石”分別得出等式組成方程組,求出即可;
(2)利用“‘益安’車(chē)隊(duì)需要一次運(yùn)輸沙石165噸以上”得出不等式求出購(gòu)買(mǎi)方案即可.
解答:解:(1)設(shè)“益安”車(chē)隊(duì)載重量為8噸、10噸的卡車(chē)分別有x輛、y輛,
根據(jù)題意得: ,
解之得: .
∴“益安”車(chē)隊(duì)載重量為8噸的卡車(chē)有5輛,10噸的卡車(chē)有7輛;
(2)設(shè)載重量為8噸的卡車(chē)增加了z輛,
依題意得:8(5+z)+10(7+6?z)>165,
解之得:z<
∵z≥0且為整數(shù),
∴z=0,1,2;
∴6?z=6,5,4.
∴車(chē)隊(duì)共有3種購(gòu)車(chē)方案:
①載重量為8噸的卡車(chē)不購(gòu)買(mǎi),10噸的卡車(chē)購(gòu)買(mǎi)6輛;
②載重量為8噸的卡車(chē)購(gòu)買(mǎi)1輛,10噸的卡車(chē)購(gòu)買(mǎi)5輛;
③載重量為8噸的卡車(chē)購(gòu)買(mǎi)2輛,10噸的卡車(chē)購(gòu)買(mǎi)4輛.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及不等式的應(yīng)用,根據(jù)已知得出正確的不等式關(guān)系是解題關(guān)鍵.
20.(12分)(2013?益陽(yáng))如圖1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分線(xiàn)BE交AC于E.
(1)求證:AE=BC;
(2)如圖(2),過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F,將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,連結(jié)CE′,BF′,求證:CE′=BF′;
(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);等腰梯形的判定.
分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案;
(2 )由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,根據(jù)全等三角形證明方法得出即可;
(3)分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí),則四邊形ABCM為等腰梯形,②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí),求出α即可.
解答:(1)證明:∵AB=BC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ C=72°,
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=36°,
∴∠BEC=180°?∠C?∠CBE=72°,
∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,
∴AE=BE,BE=BC,
∴AE=BC.
(2)證明:∵AC=AB且EF∥BC,
∴AE=AF;
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,
∵在△CAE′和△BAF′中
,
∴△CAE′≌△BAF′,
∴CE′=BF′.
(3)存在CE′∥AB,
理由:由(1)可知AE=BC,所以,在△AE F繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,E點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑(圓。┡c過(guò)點(diǎn)C且與AB平行的直線(xiàn)l交于M、N兩點(diǎn),
如圖:①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí),則四邊形ABCM為等腰梯形,
∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°,
∴α=∠CAM=36°.
②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí),
由AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,
∵AM=AN,
∴∠ANM=∠AMN=72°,
∴∠MAN=180°?2×72°=36°,
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°.
所以,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時(shí),CE′∥AB.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵.
六、解答題(本題滿(mǎn)分10分)
21.(10分)(2013?益陽(yáng))材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp?x1=x2?xp,得xp= ,同理 ,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .由勾股定理得AB2= ,所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為 .
注:上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.
解答下列問(wèn)題:
如圖2,直線(xiàn)l:y=2x+2與拋物線(xiàn)y=2x2交于A、B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AB、AC,求證△ABC為直角三角形;
(3)將直線(xiàn)l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線(xiàn)l′,求兩直線(xiàn)l與l′的距離.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.
分析:(1)根據(jù)y=2x+2與拋物線(xiàn)y=2x2交于A、B兩點(diǎn),直接聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(2)利用兩點(diǎn)間距離公式得出AB的長(zhǎng),進(jìn)而得出PC=PA=PB,求出∠PAC+∠PCB=90°,即∠ACB=90°即可得出答案;
(3)點(diǎn)C作CG⊥AB于G,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于H,利用A,C點(diǎn)坐標(biāo)得出H點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得出CG=AH,求出即可.
解答:(1)解:由 ,
解得: , .
則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:A( ,3? ),B( ,3+ ),
∵P是A,B的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P點(diǎn)坐標(biāo)為(,3),
又∵PC⊥x軸交拋物線(xiàn)于C點(diǎn),將x=代入y=2x2中得y=,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
(2)證明:由兩點(diǎn)間距離公式得:
AB= =5,PC=3?=,
∴PC=PA=PB,
∴∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB,
∴∠PAC+∠PCB=90°,即∠ACB=90°,
∴△ABC為直角三角形.
(3)解:過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于H,
則H點(diǎn)的坐標(biāo)為(,3? ),
∴S△PAC=AP?CG=PC?AH,
∴CG=AH= ?= .
又直線(xiàn)l與l′之間的距離等于點(diǎn)C到l的距離CG,
∴直線(xiàn)l與l′之間的距離為 .
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間距離公式和兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法等知識(shí),根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出H點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
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