第3章
1.下列數(shù)值中,不是不等式5x≥2x+9的解的是(D)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2.若a>b,則下列不等式中,不成立的是(B)
A.a(chǎn)-3>b-3 B.-3a>-3b
C.a3>b3 D.-a<-b
3.已知不等式組x>a,x≥1的解是x≥1,則a的取值范圍是(A)
A. a<1 B. a≤1
C. a≥1 D. a>1
4.不等式3(x-1)≤5-x的非負整數(shù)解有(C)
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周長為20 cm,則AB邊的取值范圍是(B)
A.1 cm<AB<4 cm B.5 cm<AB<10 cm
C.4 cm<AB<8 cm D.4 cm<AB<10 cm
【解】 設(shè)AB=x(cm),則AC=x(cm),AB=(20-2x)cm.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,得x+x>20-2x>0,20-2x+x>x,解得5<x<10.
∴5 cm<AB<10 cm.
6.若關(guān)于x的不等式組x-3(x-2)<4,a+2x3≥x無解,則a的取值范圍是(B)
A.a(chǎn)<1 B.a(chǎn)≤1
C.a(chǎn)>1 D.a(chǎn)≥1
【解】 解第一個不等式,得x>1.
解第二個不等式,得x≤a.
∵不等式組無解,∴a≤1.
7.若三個連續(xù)正整數(shù)的和小于39,則這樣的正整數(shù)中,最大的一組數(shù)的和是(B)
A. 39 B. 36
C. 35 D. 34
【解】 設(shè)這三個正整數(shù)分別為x-1,x,x+1,則(x-1)+x+(x+1)<39,
∴x<13.
∵x為整數(shù),
∴當x=12時,三個連續(xù)正整數(shù)的和最大,三個連續(xù)正整數(shù)的和為11+12+13=36.
8.若關(guān)于x的不等式3x+1<m的正整數(shù)解是1,2,3,則整數(shù)m的最大值是(D)
A.10 B.11
C.12 D.13
【解】 解3x+1<m,得x<m-13.
∵原不等式的正整數(shù)解是x=1,2,3,
∴3<m-13≤4,解得10<m≤13.
∴整數(shù)m的最大值是13.
9.若關(guān)于x的不等式組5-3x≥0,x-m≥0有實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是(A)
A.m≤53 B.m<53
C.m>53 D.m≥53
【解】 解不等式組5-3x≥0,x-m≥0,得x≤53,x≥m.
∵有實數(shù)解,∴m≤53.
10.某校團委與社區(qū)聯(lián)合舉辦“保護地球,人人有責”活動,選派20名學生分三組到120個店鋪發(fā)傳單.若第一、二、三小組每人分別負責8,6,5個店鋪,且每組至少有兩人,則學生分組方案有(B)
A. 6種 B. 5種
C. 4種 D. 3種
【解】 設(shè)第一組有a人,第二組有b人,第三組有c人.由題意,得
a+b+c=20,8a+6b+5c=120,解得a=12c,b=20-32c.
∵a≥2,b≥2,c≥2,
∴12c≥2,20-32c≥2,∴4≤c≤12.
∵a,b,c均為整數(shù),∴c必為2的倍數(shù).
∴滿足條件的c=4,6,8,10,12.
∴分組方案有5種.
二、填空題(每小題2分,共20分)
11.不等式3x+1<-2的解是x<-1.
12.已知x<a的最大整數(shù)解為x=3,則a的取值范圍是3<a≤4.
13.不等式組x-1<2-2x,23x>x-12的解是-3<x<1.
14.若關(guān)于x的不等式組2x+1>3,a-x>1的解為1<x<3,則a的值為__4__.
【解】 解2x+1>3,得x>1.
解a-x>1,得x<a-1.
∵不等式組2x+1>3,a-x>1的解為1<x<3,
∴a-1=3,∴a=4.
(第15題)
15.若關(guān)于x的不等式組x>a,x>b的解如圖所示,則關(guān)于x的不等式組x<a,x≤b的解是x<a.
【解】 ∵a<b,小小取小,
∴x<a.
16.若代數(shù)式14-2x的值不大于代數(shù)式8-x2的值,則x的最小整數(shù)解是-5.
【解】 由題意,得14-2x≤8-x2,
解得x≥-316.
∴x的最小整數(shù)解是-5.
17.已知x-y=3,且x>2,y<1,則x+y的取值范圍是1<x+y<5.
【解】 由x-y=3,得x=y(tǒng)+3.
∵x>2,∴y+3>2,解得y>-1.
又∵y<1,∴-1<y<1.
把x=y(tǒng)+3代入x+y,
得x+y=y(tǒng)+3+y=2y+3,
而1<2y+3<5,
∴1<x+y<5.
18.五條長度均為整數(shù)的線段a1,a2,a3,a4,a5滿足a1<a2<a3<a4<a5,其中a1=1,a5=9,且這5條線段中任意三條都不能構(gòu)成三角形,則a3=__3__.
【解】 由題意,得a1+a2≤a3,a2+a3≤a4,a3+a4≤a5,
∴當a1=1時,a2=2,a3=3,a4=5或6,a5=9,
∴a3=3.
19.某班有48名學生會下象棋或圍棋,會下象棋的人數(shù)比會下圍棋的人數(shù)的2倍少3人,兩種棋都會下的至多有9人,但不少于5人,則會下圍棋的有19或20人.
【解】 設(shè)會下圍棋的有x人,則會下象棋的有(2x-3)人.
根據(jù)題意,得5≤x+(2x-3)-48≤9,
解得563≤x≤20.
∵x 為正整數(shù),∴x=19或20.
20.如圖,按下面的程序進行運算.
(第20題)
規(guī)定:程序運行到“判斷結(jié)果是否大于35”為一次運算.若運算進行了5次才停止,則x的取值范圍是4<x≤5.
【解】 第1次,結(jié)果是2x-3;
第2次,結(jié)果是2×(2x-3)-3=4x-9;
第3次,結(jié)果是2×(4x-9)-3=8x-21;
第4次,結(jié)果是2×(8x-21)-3=16x-45;
第5次,結(jié)果是2×(16x-45)-3=32x-93,
∴32x-93>35,16x-45≤35,
解得4<x≤5.
三、解答題(共60分)
21.(12分)解下列不等式或不等式組:
(1)3(x+2)-1≤11-2(x-2)(在數(shù)軸上表示它的解).
【解】 3x+6-1≤11-2x+4,5x≤10,∴x≤2.在數(shù)軸上表示如下:
(第21題解)
(2)x2-1≤7-x3.
【解】 去分母,得3x-6≤2(7-x).
去括號,得3x-6≤14-2x.
移項,得3x+2x≤14+6.
合并同類項,得5x≤20.
解得x≤4.
(3)2(x-1)≤-1,2x+3>1.
【解】 解2(x-1)≤-1,得x≤12.
解2x+3>1,得x>-1.
∴-1<x≤12.
(4)2x-6<3x,x+25-x-14≥0.
【解】 解2x-6<3x,得x>-6.
解x+25-x-14≥0,得x≤13.
∴-6<x≤13.
22.(6分)已知關(guān)于x的兩個不等式3x+a2<1與1-3x>0.
(1)若兩個不等式的解相同,求a的值.
(2)若不等式3x+a2<1的解都是不等式1-3x>0的解,求a的取值范圍.
【解】 (1)解不等式3x+a2<1,得3x+a<2,
3x<2-a,∴x<2-a3.
解不等式1-3x>0,得x<13.
∴2-a3=13,∴a=1.
(2)∵不等式3x+a2<1的解都是不等式1-3x>0的解,
∴2-a3≤13,解得a≥1.
23.(6分)試確定實數(shù)a的取值范圍,使不等式組x2+x+13>0,x+5a+43>43(x+1)+a恰好有兩個整數(shù)解.
【解】 解不等式x2+x+13>0,得x>-25.
解不等式x+5a+43>43(x+1)+a,得x<2a.
∵原不等式組有解,
∴原不等式組的解為-25<x<2a.
∵該不等式組恰好有兩個整數(shù)解,
∴整數(shù)解為0和1,
∴1<2a≤2,∴12<a≤1.
24.(7分)已知關(guān)于x的不等式組-x-1≥-2x+1,12(x-2a)+12x<0,其中實數(shù)a是不等于2的常數(shù),請依據(jù)a的取值情況求出不等式組的解.
【解】 -x-1≥-2x+1,①12(x-2a)+12x<0,②
解不等式①,得x≥2.
解不等式②,得x<a.
當a>2時,不等式組的解為2≤x<a;
當a<2時,不等式組無解.
25.(9分)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組x+y=-7-a,x-y=1+3a的解中,x為非正數(shù),y為負數(shù).
(1)求a的取值范圍.
(2)化簡:|a-3|+|a+2|.
(3)在a的取值范圍中,當a為何整數(shù)時,不等式2ax+x<2a+1的解為x>1?
【解】 (1)解x+y=-7-a,x-y=1+3a,得x=a-3,y=-2a-4.
∵x為非正數(shù),y為負數(shù),
∴x≤0,y<0,即a-3≤0,-2a-4<0,解得a≤3,a>-2.
∴a的取值范圍是-2<a≤3.
(2)∵-2<a≤3,∴a-3≤0,a+2>0,
∴|a-3|+|a+2|=3-a+a+2=5.
(3)不等式2ax+x<2a+1可化簡為
(2a+1)x<2a+1.
∵不等式的解為x>1,
∴2a+1<0,∴a<-12.
又∵-2<a≤3,∴-2<a<-12.
∵a為整數(shù),∴a=-1.
26.(8分)為支援災(zāi)區(qū),某校愛心活動小組準備用籌集的資金購買A,B兩種型號的學習用品共1000件.已知B型學習用品的單價比A型學習用品的單價多10元,用180元購買B型學習用品的件數(shù)與用120元購買A型學習用品的件數(shù)相同.
(1)求A,B兩種學習用品的單價.
(2)若購買這批學習用品的費用不超過28000元,則最多購買B型學習用品多少件?
【解】 (1)設(shè)A型學習用品的單價是x元,則B型學習用品的單價是(x+10)元.
根據(jù)題意,得180x+10=120x,解得x=20.
經(jīng)檢驗,x=20是原方程的根,且符合題意.
∴x+10=30.
答:A型學習用品的單價是20元,B型學習用品的單價是30元.
(2)設(shè)可以購買B型學習用品a件,則購買A型學習用品(1000-a)件.根據(jù)題意,得
20(1000-a)+30a≤28000,
解得a≤800.
答:最多購買B型學習用品800件.
27.(12分)某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車,隨著汽車的普及,其價格也在不斷下降.去年5月份A款汽車的售價比前年同期每輛降價1萬元,如果賣出相同數(shù)量的A款汽車,前年銷售額為100萬元,去年銷售額只有90萬元.
(1)去年5月份A款汽車每輛售價是多少萬元?
(2)為了增加收入,汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車,已知A款汽車每輛進價為7.5萬元,B款汽車每輛進價為6萬元,公司預(yù)計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛,有幾種進貨方案?
(3)如果B款汽車每輛售價為8萬元,為打開B款汽車的銷路,公司決定每售出一輛B款汽車,返還顧客現(xiàn)金a萬元.若要使(2)中所有的方案獲利相同,則a的值應(yīng)是多少?此時哪種方案對公司更有利?
【解】 (1)設(shè)去年5月份A款汽車每輛售價是m萬元,則
90m=100m+1,解得m=9.
經(jīng)檢驗,m=9是原方程的根,且符合題意.
答:去年5月份A款汽車每輛售價是9萬元.
(2)設(shè)購進A款汽車x輛,購進B款汽車(15-x)輛,則
99≤7.5x+6(15-x)≤105,
解得6≤x≤10.
∵x為自然數(shù),∴x=6或7或8或9或10,
∴共有5種進貨方案.
(3)設(shè)總獲利為W元,則
W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)
=(a-0.5)x+30-15a.
當a=0.5時,(2)中所有方案獲利相同.
此時總成本=7.5x+(6+a)(15-x)=(x+97.5)萬元,故當x取6時總成本最少.
故購買A款汽車6輛,B款汽車9輛時對公司更有利.
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