直線，連結(jié)，直線及線段把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點落在某個部分時，連結(jié)，構(gòu)成，三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是角．）
（1）當(dāng)動點落在第①部分時，求證：；
（2）當(dāng)動點落在第②部分時，是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）當(dāng)動點在第③部分時，全面探究，，之間的關(guān)系，并寫出動點的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．
分析：
這是一道開放型試題，這類試題已成為各地中考的必考試題。開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開放題的目標(biāo)；思維的多向性，它是開放題的實質(zhì)；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內(nèi)涵的發(fā)展性，它是開放題的認(rèn)識。過程開放或結(jié)論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵學(xué)生多角度、多側(cè)面、多層次地思考問題，有助于充分調(diào)動學(xué)生的潛在能力。本題的第一問結(jié)論確定，但是P點的具體位置不確定，需要學(xué)生大膽假設(shè)確定其位置，可以得到多種證明方法；第二問，實際就轉(zhuǎn)化為了前面提到的教材的原型，而要求直接作答難度相對較小，顯然不成立；第三問，開放性比較強，需要對結(jié)論進行探索，并且需要分類討論。
解：（1）解法一：如圖9-1，延長BP交直線AC于點E
∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .
∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .
解法二：如圖9-2，過點P作FP∥AC ,
∴ ∠PAC = ∠APF .
∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .
∴ ∠FPB =∠PBD .
∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .
解法三：如圖9-3，
∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)當(dāng)動點P在射線BA上，
結(jié)論是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任寫一個即可）.
(c) 當(dāng)動點P在射線BA的左側(cè)時，
結(jié)論是∠PAC =∠APB +∠PBD .
選擇(a) 證明：
如圖9-4，連接PA，連接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
選擇(b) 證明：如圖9-5 ，
∵ 點P在射線BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC 課前預(yù)習(xí) =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
選擇(c) 證明：
如圖9-6，連接PA，連接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .
溫馨提示：所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結(jié)論，對激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)想像、擴散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型。開放型試題重在開發(fā)思維，促進創(chuàng)新，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點考題。觀察、實驗、猜想、論證是科學(xué)思維方法，是新課標(biāo)思維能力新添的內(nèi)容，學(xué)習(xí)中應(yīng)重視并應(yīng)用。而要想做好此類試題我認(rèn)為應(yīng)從教材入手，教材中的習(xí)題和例題都有一定的探索性，我們只有立足教材充分發(fā)揮習(xí)題的作用，反復(fù)推敲，對習(xí)題進行一題多解和一題多變的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識與經(jīng)驗，主動探索知識發(fā)生和發(fā)展的過程，增強學(xué)生的應(yīng)變能力，有利于鞏固基礎(chǔ)知識，發(fā)展創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
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