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方程式←→函數(shù)化

方程問題函數(shù)化，函數(shù)問題方程化，這兩化把方程的思想，函數(shù)思想融為一體，相互轉(zhuǎn)化，使“利用函數(shù)性質(zhì)解題”這個(gè)數(shù)學(xué)的大課題生輝，諸如不等←→函數(shù)增、減等一系列的簡單思維模式到處可用。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)求極值方法之一是判別式法(函數(shù)問題方程化)∵方程ax2+bx+(c-y)=0有實(shí)根，∴△=b2-4a(c-y)≥0

4ay≥4ac-b2 a>0時(shí) y≥■即

y小=■;a<0時(shí)，y≤■

即y大=■

例2.已知A、B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

韋達(dá)定理，和積關(guān)系→常見轉(zhuǎn)化方式

■

∴A+B=45°→x1=tanA<1，x2=tanB<1

且都大于0。

難點(diǎn)如何定m的范圍：函數(shù)化。

f(x)=x2+mx+m+1有二正根且都在(0，1)之間的條件：(△≥0不能保證根的范圍)

對(duì)照?qǐng)D象：

■

(為什么不必△≥0?你能很清晰嗎?)

解得：-1

這是典型的方程問題函數(shù)化，確定參數(shù)取值范圍的試題。

例3.(2008上海 理11)方程x2+■x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+■的圖像與函數(shù)y=■的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若x4+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根x1，x2，…，xk(k≤4)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x1，■)(i=1，2，…，k)均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________。

答案：(-∞，-6)∪(6，+∞)

●解法1：依題意x4+ax-4=0←→x3+a=■ 由圖示及奇函數(shù)y=x3的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，得知當(dāng)y=x3+a的圖像從過B點(diǎn)起，向下平移或向上平移時(shí)，交點(diǎn)均在y=x同側(cè)。

∵A(-2，2)，B(2，2)，∴把A、B坐標(biāo)代入y=x3+a得a=-6或a=6，故a<-6或a>6即為所求。

●解法2：依題意，結(jié)合圖形分析，■，得y=a+8或y=a-8

分別令y<2或y>-2，得a<-6或a>6。

[點(diǎn)撥評(píng)析]作為一道綜合性較強(qiáng)、分值不高的填空題，從“數(shù)形結(jié)合”的思想出發(fā)，通過作圖開辟解題思路，簡明、具體。試題本身就在提示你，“數(shù)形結(jié)合”可以作為一種思維模式，實(shí)現(xiàn)方程化←→函數(shù)化的完美結(jié)合。

解題的通式、通法都可以從中提煉出可操作的模式，形成思維規(guī)律。如解不等式sinx>■。如下思維操作定能“做一題，通一類”。

1.結(jié)合周期T=2π，可先找x∈(0，2π)的解集，再一般化;2.結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)先肯定或否定兩個(gè)區(qū)間：sinx>■，Ⅲ、Ⅳ象限均不是解;3.結(jié)合單位圓先找相等的界限sinx=■，x=■或x=■;4.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，作取舍

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