變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一。代數(shù)變換是學(xué)生熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形不變其質(zhì)的，它可以揭示那些外形不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系。在本冊(cè)第一章，學(xué)生接觸了同角三角函數(shù)式的變換，在本章，學(xué)生將運(yùn)用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力將得到進(jìn)一步提高。
一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換。
通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生：
1．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用。
2．能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
3．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括嘗試導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶），通過(guò)這些基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問(wèn)題的自覺(jué)性，體會(huì)一般與特殊的關(guān)系與轉(zhuǎn)化、換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用。
4．在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過(guò)程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力。
二、內(nèi)容安排
本章包含2節(jié)，教學(xué)時(shí)間約8課時(shí)，具體分配如下(僅供參考)：
3．1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 約4課時(shí)
3．2簡(jiǎn)單的三角恒等變換 約3課時(shí)
小結(jié) 約1課時(shí)
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：
和（差）角公式的邏輯聯(lián)系圖：
1．本章內(nèi)容的認(rèn)知基礎(chǔ)是代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換。與其他數(shù)學(xué)變換一樣，三角恒等變換也包括變換的對(duì)象、目標(biāo)以及變換的依據(jù)和方法等要素。三角恒等變換的基本目標(biāo)是由含有一個(gè)角的三角函數(shù)式拓廣到包含兩個(gè)角的三角函數(shù)式，因此建立一套含有兩個(gè)角的三角函數(shù)式的變換公式就是本章的首要任務(wù)，這也是第一節(jié)的中心內(nèi)容。
為了引起學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)需要，同時(shí)為了加強(qiáng)三角變換的實(shí)際應(yīng)用，本章的開(kāi)篇從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)化，得到一個(gè)必須通過(guò)三角變換才能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。
2．由于角的和、差、倍之間有內(nèi)在聯(lián)系并可以相互轉(zhuǎn)化，因此它們的三角函數(shù)之間也必然存在緊密聯(lián)系，這樣，我們可以利用這種聯(lián)系性，在獲得其中一個(gè)公式的基礎(chǔ)上，通過(guò)角的形式變換，用邏輯推理的方法而得到其他公式。
那么，應(yīng)當(dāng)以哪一個(gè)公式作為基礎(chǔ)呢？過(guò)去的教材曾經(jīng)進(jìn)行過(guò)許多探索，其基本出發(fā)點(diǎn)都是努力使公司的證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)明易懂，易于被學(xué)生所接受。這里，我們以向量為工具，選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)。應(yīng)當(dāng)說(shuō)，這樣處理使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算過(guò)程，大大降低了思考難度（盡管同時(shí)也失去了一些對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)）。
另外，對(duì)于眾多公式的推導(dǎo)順序，也可以有多種不同安排。本章中先探索出了兩角差的余弦公式，然后以它為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出其他公式，具體過(guò)程如下：
實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生情況，對(duì)公式的推導(dǎo)順序作出自己的選擇。
3．本章內(nèi)容安排考慮的另一個(gè)重要問(wèn)題是如何引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)三角變換的過(guò)程中發(fā)展推理能力與運(yùn)算能力，這種對(duì)能力培養(yǎng)的要求不僅體現(xiàn)在應(yīng)用公式進(jìn)行變換的練習(xí)中，而且也體現(xiàn)在公式的推導(dǎo)過(guò)程中。因此，全章始終注意通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用類比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)分析與處理問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐漸明確三角變換不僅是三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式變換，而且還有角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，使學(xué)生領(lǐng)悟有關(guān)公式在變換中的作用和用法，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)選擇和設(shè)計(jì)變換思路。
4．本章內(nèi)容安排中，認(rèn)真貫徹了“標(biāo)準(zhǔn)”提出的“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過(guò)分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容”的要求，嚴(yán)格控制三角恒等變換及其應(yīng)用的難度，把過(guò)去作為變換依據(jù)的半角公式、和差化積公式、積化和差公式等，處理成為三角變換的基本練習(xí)。
三、編寫(xiě)中考慮的幾個(gè)問(wèn)題
削枝強(qiáng)干，精簡(jiǎn)內(nèi)容。
把重點(diǎn)放在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，以及通過(guò)它推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式，并形成對(duì)這些公式內(nèi)在聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，把半角公式、積化和差、和差化積公式作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練。經(jīng)過(guò)這樣的處理，減少了三角變換所需要的課時(shí)數(shù)（從過(guò)去的11課時(shí)左右減為現(xiàn)在的8課時(shí)）。
2．突出數(shù)學(xué)思想方法，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進(jìn)行引導(dǎo)。
本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到和（差）角公式，而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。例如，在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問(wèn)題的解決總體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用；從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的過(guò)程中，始終引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)化歸思想；在應(yīng)用公式進(jìn)行恒等變換的過(guò)程中，滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法。特別是充分發(fā)揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用，對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的一般思路進(jìn)行引導(dǎo)，這對(duì)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣能起到積極的促進(jìn)作用。另外，還在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié)。例如，在旁白中有“‘倍’是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，2α是α的二倍…… 是的二倍，這里蘊(yùn)含著換元的思想”“這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)上有什么不同”等，這些都是為了加強(qiáng)思想方法而設(shè)置的。
3．以問(wèn)題為引導(dǎo)，加強(qiáng)過(guò)程與聯(lián)系，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
為了激發(fā)學(xué)生的自主探究、動(dòng)手實(shí)踐等的積極性，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改進(jìn)得到落實(shí)，本章設(shè)置了許多思考性問(wèn)題和旁注，用以啟發(fā)學(xué)生思考，提示關(guān)鍵所在，這樣做，既能為學(xué)生深刻理解所學(xué)內(nèi)容創(chuàng)造條件，又能鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，從而使得學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改進(jìn)得到具體落實(shí)，并切實(shí)提高學(xué)生的思維能力。例如，在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程中，以“如何用任意角α，β的正弦、余弦值來(lái)表示 ？”“你認(rèn)為要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)？”“以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？若有，請(qǐng)做出補(bǔ)充”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展獨(dú)立思考；又如，在由兩角差的余弦公式推導(dǎo)其他公式的過(guò)程中，先由“用誘導(dǎo)公式可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的互化，你能根據(jù)、及誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出、嗎”等對(duì)學(xué)生的思路進(jìn)行引導(dǎo)，然后以“留空”的方式讓學(xué)生自主推導(dǎo)出有關(guān)公式。
四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議
1．精心搞好教學(xué)設(shè)計(jì)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。
本章內(nèi)容的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及在推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的思想方法，同時(shí)它也是難點(diǎn)。為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，教學(xué)中可以設(shè)計(jì)一定的教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度，利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角形中的邊角關(guān)系等建立包含α，β，α－β的正弦、余弦值的等量關(guān)系。這個(gè)過(guò)程比較復(fù)雜，而且難度也比較大，但對(duì)理解公式的結(jié)構(gòu)特征有促進(jìn)作用，另外還能激發(fā)學(xué)生探索簡(jiǎn)便方法的欲望。
前一章中，教科書(shū)已經(jīng)明確指出，向量的數(shù)量積是解決距離與夾角問(wèn)題的好工具，在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)中正好能夠體現(xiàn)它的力量。由于學(xué)生剛接觸向量，他們還不太習(xí)慣用向量工具解決問(wèn)題，因此這里需要教師作引導(dǎo)。教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意三個(gè)要點(diǎn)：
（1）在回顧求角的余弦的方法時(shí)，有意識(shí)地提醒學(xué)生聯(lián)想向量方法；
�。�2）充分利用單位圓，分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法的運(yùn)用做好準(zhǔn)備；
（3）探索過(guò)程的安排，應(yīng)當(dāng)先把握整體，然后逐步追求細(xì)節(jié)。具體的，教科書(shū)的安排是先由圖3.1-3（P.140）得出一個(gè)公式，然后通過(guò)問(wèn)題“以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？若有，請(qǐng)做出補(bǔ)充”，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充細(xì)節(jié)。在補(bǔ)充完善的過(guò)程中，需要運(yùn)用分類討論思想及誘導(dǎo)公式。
突破了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)這一難點(diǎn)后，其他所有公式都可以通過(guò)學(xué)生自己的獨(dú)立探索而得出。
2．準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。
與以往的三角恒等變換學(xué)習(xí)相比較，“標(biāo)準(zhǔn)”強(qiáng)調(diào)了用向量方法推導(dǎo)差角的余弦公式，以用三角函數(shù)之間的關(guān)系推導(dǎo)和（差）角公式、二倍角公式，其他公式（積化和差、和差化積、半角公式等）都處理成為三角恒等變換的基本訓(xùn)練。這樣的安排，把重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力上，而對(duì)變換的技巧性要求大大降低。教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)把握好這種變化，遵循“標(biāo)準(zhǔn)”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡(jiǎn)的知識(shí)點(diǎn)（如半角公式、積化和差與和差化積公式只是作為基本訓(xùn)練的素材，結(jié)果不要求記憶，更不要求運(yùn)用），也不要引進(jìn)那些繁瑣的、技巧性高的變換難題以及強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。
3．加強(qiáng)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法。
三角恒等變換與代數(shù)恒等變換、圓的幾何性質(zhì)等都有緊密聯(lián)系。推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程比較集中地反映了這種聯(lián)系，從中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想。從數(shù)學(xué)變換的角度看，三角恒等變換與代數(shù)恒等變換既有相同之處又有各自特點(diǎn)。相同之處在于它們都是運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)工具對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子作“只變其形不變其質(zhì)”的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)其結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行變換。由于三角函數(shù)式的差異不僅表現(xiàn)在其結(jié)構(gòu)形式上，而且還表現(xiàn)在包含的角及其函數(shù)類型上，因此三角恒等變換常常需要先考慮式子中包含的各個(gè)角之間的關(guān)系，然后以這種關(guān)系為依據(jù)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)娜枪竭M(jìn)行變換，這是三角恒等變換的主要特點(diǎn)。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生以一般的數(shù)學(xué)（代數(shù)）變換思想為指導(dǎo)，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)式特點(diǎn)的觀察過(guò)程，在類比、特殊化、化歸等思想方法上多作引導(dǎo)，同時(shí)要注意體會(huì)三角恒等變換的特殊性。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/156725.html
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