江蘇省南菁高級中學2011-2012學年度高一第二學期暑假作業(yè)
不等式
一 題
1.若 的最小值為
2.已知 ，則 的最小值是2
3.已知下列四個結論：
①若 則 ； ②若 ,則 ；
③若 則 ； ④若 則 。
其中正確的是④
4.已知不等式 對任意正實數(shù) 恒成立，則正實數(shù) 的最小值為6
5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表：
x-3-2-101234
y60-4-6-6-406
則不等式ax2+bx+c>0的解集是
6.若關于x的不等式 的解集為R，則 的取值范圍是
7.不等式 解集為 ，則ab值分別為-12，-2
8.若函數(shù)f(x) = 的定義域為R，則 的取值范圍為
9.不等式組 表示的平面區(qū)域是一個三角形，則 的取值范圍是
10.已知點P（x，y）在不等式組 表示的平面區(qū)域上運動，則z＝x－y的取值范圍是 h
11. 如果函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a]，那么實數(shù)a的取值范圍是____ a<-1____
12. 設 ，函數(shù) ，則使 的 的取值范圍是
13.函數(shù) 在區(qū)間 上恒為正，則 的取值范圍是 0＜a＜2
14.對于0≤≤4的，不等式x2+x＞4x+－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1
二．解答題
15.解關于ｘ的不等式
分析：本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.
解:原不等式等價于 ∵ ∴等價于：
（*）
a>１時，（*）式等價于 >0∵ <１∴x< 或x>２
a<１時，（*）式等價于 <0由２－ ＝ 知：
當0<a<１時， >２，∴２<x< ；
當a<0時， <２，∴ <x<２；
當a＝0時，當 ＝２，∴x∈φ
綜上所述可知：當a<0時，原不等式的解集為（ ，2）；當a＝0時，原不等式的解集為φ；當0<a<１時，原不等式的解集為（2， ）；當a>１時，原不等式的解集為（－∞， ）∪（2，＋∞）。
思維點撥:含參數(shù)不等式,應選擇恰當?shù)挠懻摌藴蕦λ帜阜诸愑懻?要做到不重不漏.
16.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值
解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域
直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC內(nèi)取一點P（1，1），分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0。因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x－ t過A（3，－1）時，縱截距－ t最小 此時t最大，tax=3×3－2×（－1）=11；當直線y= x－ t經(jīng)過點B（－1，1）時，縱截距－ t最大，此時t有最小值為tin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5
17.已知是關于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且中的一個元素是0，求實數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由 適合不等式故得 ，所以 ，或 .
若 ，則 ，∴ ，
此時不等式的解集是 ；
若 ，由 ，∴ ，
此時不等式的解集是 。
18. 已知集合 ，函數(shù) 的定義域為Q
（1）若 ，求實數(shù)a的取值范圍。
（2）若方程 在 內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：問題（1）可轉(zhuǎn)化為 在 內(nèi)有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù).
解：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
（2）方程 在 內(nèi)有解， 則 在 內(nèi)有解。
當 時，
所以 時， 在 內(nèi)有解。點撥：本題用的是參數(shù)分離的思想.
19.甲、乙兩地相距 ，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過 ，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 的平方成正比，且比例系數(shù)為 ；固定部分為 元．
（1）把全程運輸成本 元表示為速度 的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：需由實際問題構造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解
解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為 ，全程運輸成本為
．故所求函數(shù)為 ，定義域為 ．
（2）由于 都為正數(shù)，
故有 ，即 ．
當且僅當 ，即 時上式中等號成立．
若 時，則 時，全程運輸成本 最�。�
當 ，易證 ，函數(shù) 單調(diào)遞減，即 時， ．
綜上可知，為使全程運輸成本 最小，
在 時，行駛速度應為 ；
在 時，行駛速度應為 ．
點撥：本題主要考查建立函數(shù)關系式、不等式性質(zhì)（公式）的應用．也是綜合應用數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的一道優(yōu)秀試題．
20. 設 為實數(shù)，設函數(shù) 的最大值為 。
（Ⅰ）設t＝ ，求 的取值范圍，并把 表示為 的函數(shù) .
（Ⅱ）求
（Ⅲ）試求滿足 的所有實數(shù) .
分析：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學思想方法和綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力。
解：（Ⅰ）令
要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴ t≥0 ①
t的取值范圍是 由①得
∴(t)=a( )+t= …………………………………………4分
（Ⅱ）由題意知g(a)即為函數(shù) 的最大值。
注意到直線 是拋物線 的對稱軸，分以下幾種情況討論。
（1）當a>0時，函數(shù)y=(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由 <0知(t)在 上單調(diào)遞增，∴g(a)=(2)=a+2
(2)當a=0時，(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)當a<0時,函數(shù)y=(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若 ，即 則
若 ，即 則
若 ，即 則
綜上有 ………………………………………………9分
(III)解法一：
情形1：當 時 ，此時 ，
由 ，與a<-2矛盾。
情形2：當 ， 時，此時 ，
解得， 與 矛盾。
情形3：當 時，此時
所以
情形4：當 時， ，此時 ，
矛盾。
情形5：當 時， ，此時g(a)=a+2,
由 解得 矛盾。
情形6：當a>0時， ，此時g(a)=a+2,
由 ，由a>0得a=1.
綜上知，滿足 的所有實數(shù)a為 或a=1…………………14分
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