【知識(shí)圖解】
【方法點(diǎn)撥】
不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（�。┲担容^大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考命題的熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)的難點(diǎn).
1.掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時(shí)一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件。
2.一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。
3.線性規(guī)劃問題有著豐富的實(shí)際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對(duì)于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運(yùn)用。
第1課 基本不等式
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。
2.能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問題。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.“a>b>0”是“ab< ”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件)
2. 的最小值為
3.已知 ，且 ，則 的最大值為
4.已知 ，則 的最小值是2
【范例導(dǎo)析】
例1.已知 ，求函數(shù) 的最大值.
分析：由于 ，所以首先要調(diào)整符號(hào).
解：∵ ∴
∴y=4x-2+ = ≤-2+3=1
當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=1時(shí)，上式成立，故當(dāng)x=1時(shí)， .
例2.（1）已知a，b為正常數(shù)，x、y為正實(shí)數(shù)，且 ，求x+y的最小值。
（2） 已知 ，且 ，求 的最大值．
分析：問題（1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進(jìn)行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式： ≥ 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立
法二：
由 得
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由 >0得y-b>0 ∴ x+y≥
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立
（2）法一：由 ，可得， ．
注意到 ．可得， ．
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，代入 中得 ，故 的最大值為18．
法二： ， ，
代入 中得：
解此不等式得 ．下面解法見解法一，下略．
點(diǎn)撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決.
【反饋練習(xí)】
1.設(shè)a＞1,且 ,則 的大小關(guān)系為m＞p＞n
2.已知下列四個(gè)結(jié)論：
①若 則 ； ②若 ,則 ；
③若 則 ； ④若 則 。
其中正確的是④
3.已知不等式 對(duì)任意正實(shí)數(shù) 恒成立，則正實(shí)數(shù) 的最小值為6
4.（1）已知： ，且： ，求證： ，并且求等號(hào)成立的條件．
（2）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0
證明：
等號(hào)成立
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)．
由以上得
即當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立．
說明：本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運(yùn)用均值不等式．
（2）∵ ≥ ，
≤ ，0
∴ ≤
第2課 一元二次不等式
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.會(huì)解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。
2.能運(yùn)用一元二次不等式解決綜合性較強(qiáng)的問題.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.解不等式：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原不等式化為 ，解集為
（2）原不等式化為 ，解集為R
（3）原不等式化為 ，解集為
（4）由
得
點(diǎn)撥：解一元二次不等式要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)、對(duì)應(yīng)方程 的判斷、以及對(duì)應(yīng)方程兩根大小的比較.
2. 函數(shù) 的定義域?yàn)?
3..二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
x-3-2-101234
y60-4-6-6-406
則不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式 的解集是 ，則b=__-2____ c=__-3____.
【范例導(dǎo)析】
例.解關(guān)于ｘ的不等式
分析：本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.
解:原不等式等價(jià)于 ∵ ∴等價(jià)于：
（*）
a>１時(shí)，（*）式等價(jià)于 >0∵ <１∴x< 或x>２
a<１時(shí)，（*）式等價(jià)于 <0由２－ ＝ 知：
當(dāng)0
綜上所述可知：當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為（ ，2）；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為φ；當(dāng)0
思維點(diǎn)撥:含參數(shù)不等式,應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)挠懻摌?biāo)準(zhǔn)對(duì)所含字母分類討論,要做到不重不漏.
【反饋練習(xí)】
1.若關(guān)于x的不等式 的解集為R，則 的取值范圍是
2.不等式 解集為 ，則ab值分別為-12，-2
3.若函數(shù)f(x) = 的定義域?yàn)镽，則 的取值范圍為
4.已知M是關(guān)于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一個(gè)元素是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由 適合不等式故得 ，所以 ，或 .
若 ，則 ，∴ ，
此時(shí)不等式的解集是 ；
若 ，由 ，∴ ，
此時(shí)不等式的解集是 。
第3課 線性規(guī)劃
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.會(huì)在直角坐標(biāo)系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，能由給定的平面區(qū)域確定所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式、二元一次不等式組.
2.能利用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題，并從中體會(huì)線性規(guī)劃所體現(xiàn)的用幾何圖形研究代數(shù)問題的思想.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)P（1,1）在直線 的兩側(cè)，則a的取值范圍是0
A B C D
3.下面給出四個(gè)點(diǎn)中，位于 表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（ C�。�
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）用不等式表示為
5.在坐標(biāo)平面上，不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積為
【范例導(dǎo)析】
例1.設(shè)x,y滿足約束條件 ,求目標(biāo)函數(shù)z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先畫出準(zhǔn)確的可行域，然后把線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一族平行直線，這樣就把線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一族平行直線與一平面區(qū)域有交點(diǎn)，直線在y軸上截距的最大值與最小值問題.
解：先作出可行域，如圖所示中 的區(qū)域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1, )
作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移
當(dāng)L0的平行線過B點(diǎn)時(shí)，可使z=6x+10y達(dá)到最小值
當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時(shí)，可使z=6x+10y達(dá)到最大值
所以zmin=16;zmax=50
點(diǎn)撥：幾個(gè)結(jié)論：(1)、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（�。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得。
（2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)。
例2.已知 ，
（1）求 的最大和最小值。
（2）求 的取值范圍。
（3） 求 的最大和最小值。
解析：注意目標(biāo)函數(shù)是代表的幾何意義.
解：作出可行域。
（1） ，作一組平行線l： ，解方程組 得最優(yōu)解B（3，1）， 。解 得最優(yōu)解C（7，9），
（2） 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與（0，0）的連線的斜率。從圖中可得， ，又 ， 。
（3） 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）到（0，0）的距離的平方。從圖中易得， ，（OF為O到直線AB的距離）， 。 ， ， ， 。
點(diǎn)撥：關(guān)鍵要明確每一目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，從而將目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為某幾何量的取值范圍.
例3．本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為 元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
分析：本例是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用題，其解題步驟是：（1）設(shè)出變量，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；（2）畫出可行域（3）觀察平行直線系 的運(yùn)動(dòng)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.
解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為 分鐘和 分鐘，總收益為 元，由題意得
目標(biāo)函數(shù)為 ．
二元一次不等式組等價(jià)于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．
如圖：
作直線 ，
即 ．
平移直線 ，從圖中可知，當(dāng)直線 過 點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立 解得 ．
點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
（元）
答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
【反饋練習(xí)】
1.不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則 的取值范圍是
2.已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組 表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則z＝x－y的取值范圍是[－1，2]
3.設(shè) 、 滿足約束條件 則使得目標(biāo)函數(shù) 的最大的點(diǎn) 是（2,3）．
4.已知實(shí)數(shù) 滿足 則 的取值范圍是
5.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點(diǎn)的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個(gè)問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值
解：如圖，連結(jié)點(diǎn)A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗蟆鰽BC區(qū)域
直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P（1，1），
分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y= x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y= x－ t過A（3，－1）時(shí)，縱截距－ t最小 此時(shí)t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；當(dāng)直線y= x－ t經(jīng)過點(diǎn)B（－1，1）時(shí)，縱截距－ t最大，此時(shí)t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5
。
第4課 不等式綜合
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
能利用不等式性質(zhì)、定理、不等式解法及證明解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，如最值問題、恒成立問題、最優(yōu)化問題等.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.若函數(shù) ，則 與 的大小關(guān)系是
2.函數(shù) 在區(qū)間 上恒為正，則 的取值范圍是0＜a＜2
3.當(dāng)點(diǎn) 在直線 上移動(dòng)時(shí)， 的最小值是7
4.對(duì)于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1
【范例導(dǎo)析】
例1、已知集合 ，函數(shù) 的定義域?yàn)镼
（1）若 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
（2）若方程 在 內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：問題（1）可轉(zhuǎn)化為 在 內(nèi)有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù).
解：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí)，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
（2）方程 在 內(nèi)有解， 則 在 內(nèi)有解。
當(dāng) 時(shí)，
所以 時(shí)， 在 內(nèi)有解
點(diǎn)撥：本題用的是參數(shù)分離的思想.
例2.甲、乙兩地相距 ，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過 ，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 的平方成正比，且比例系數(shù)為 ；固定部分為 元．
（1）把全程運(yùn)輸成本 元表示為速度 的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
分析：需由實(shí)際問題構(gòu)造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解
解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為 ，全程運(yùn)輸成本為
．故所求函數(shù)為 ，定義域?yàn)?．
（2）由于 都為正數(shù)，
故有 ，即 ．
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)上式中等號(hào)成立．
若 時(shí)，則 時(shí)，全程運(yùn)輸成本 最��；
當(dāng) ，易證 ，函數(shù) 單調(diào)遞減，即 時(shí)， ．
綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本 最小，
在 時(shí)，行駛速度應(yīng)為 ；
在 時(shí)，行駛速度應(yīng)為 ．
點(diǎn)撥：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、不等式性質(zhì)（公式）的應(yīng)用．也是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的一道優(yōu)秀試題．
【反饋練習(xí)】
1.設(shè) ，函數(shù) ，則使 的 的取值范圍是
2.如果函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a]，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____ a<-1____
3.若關(guān)于 的不等式 對(duì)任意 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
4已知二次函數(shù)f (x)= ,設(shè)方程f (x)=x的兩個(gè)實(shí)根為x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函數(shù)f (x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證：x0＞—1．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/58612.html
相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)