一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請把它選出后在答題卡上規(guī)定的位置上用鉛筆涂黑.1.復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則（ ） A. B. C. D. 3.集合，，，，則集合的個數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】C6.等差數(shù)列的公差為，隨機變量等可能地取，則的標準差為（ ） A. B. C. D. 9.過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，若拋物線在點處的切線斜率為1，則線段（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：設，，，，可得，又，直線的方程為，故.考點：導數(shù)的幾何意義.10.設、為正實數(shù)，，，則（ ） A. B. C. D. 12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出結果 .14.已知，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】試題分析：由題設知，，則，因此，原不等式等價于，在上是增函數(shù)，，即，又，當時，取得最小值，因此，解得，又，，故.考點：分段函數(shù)，復合函數(shù)，不等式的解法.分離變量法.（二）選做題（請在夏明兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按第15題計分）.15.（選修4-1，幾何證明選講）四邊形是圓的內接四邊形，點在上，已知，，，則圓的半徑為 .【答案】【解析】試題分析：延長、交于，四邊形是圓的內接四邊形，點在上，，在中，，，可得，在中，，可得，在中，，，圓的半徑為.考點：圓的性質，圓的內接四邊形的性質.16.（選修4-4，坐標系與參數(shù)方程）在極坐標系中，圓上任意一點到點的最大距離為 .三、解答題 （本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，若的最大值為1.（1）求的值，并求的單調區(qū)間；（2）在中，角、、所對的邊是、、，若，且，試判斷三角形的形狀.【答案】（1），（2）直角三角形.【解析】試題分析：（1）利用兩個角的和與差的正弦公式展開，代入特殊角的三角函數(shù)值，在利用兩個角的正弦公18.（本小題滿分12分）某次網(wǎng)球比賽分四個階段，只有上一階段的勝者，才能繼續(xù)參加下一階段的比賽，否則就被淘汰，選手每闖過一個階段，個人積分10分，否則0分.甲乙兩個網(wǎng)球選手參加了這次比賽，已知甲每個階段取勝的概率為，乙每個階段取勝的概率為. （1）求甲乙兩人最后積分之和為20分的概率； （2）設甲的最后積分為，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1），（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件，設“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，“甲得0分，乙得20分”為事件B，“甲得10分，乙得10分”為事件C,“甲得20分，乙得 0分”為事件D.利用獨立事件的概率公式，求，，，又事件是互斥事件，再利用求；（2）隨機變量的取值可為0,10,20,30,40.求出每個隨機變量取值的概率，列成表格，有均值的定義求.試題解析：（1）設 “甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，“甲得0分，乙得20分”為事件B，“甲得10分，乙得10分”為事件C,“甲得20分，乙得 0分”為事件D.又，，，.（2）的取值可為0,10,20,30,40.，，，，，的分布列為：010203040數(shù)學期望.考點：獨立事件的概率，隨機變量的均值.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，，是的中點，，且，. 圖1 （1）證明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值.（2）（傳統(tǒng)法）過作交的延長線于，連結，圖2，平面，，為二面角的平面角，結合圖1可知，，從而，二面角的平面角的正切值為.（向量法）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，設為平面的法向量，則，即，解得，令，得，由（1）知，為平面的一個法向量，，即二面角的平面角的正切值為.考點：余弦定理，直線與平面垂直的判定定理，二面角的判斷方法，用向量法求二面角.20.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列 . （1）求數(shù)列的通項公式； （2）證明：.【答案】（1），（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列的性質求，結合條件求出；（2）當時，，，令，利用錯位相減法求數(shù)列的前項和，要證，需證，從而有.試題解析：（1）由，，又，，又，故. （1）求直線的方程； （2）求證：為定值.【答案】（1），（2）詳見解析.【解析】22.（本小題滿分14分）已知是函數(shù)且的零點. （1）證明：； （2）證明：.【答案】（1）詳見解析，（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）求，由得到，從而函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）要證明成立，可證其等價不等式成立，再由證明.便可得，根據(jù)等比數(shù)列求和公式及不等式的放縮法得出結論.湖北省穩(wěn)派教育2015屆高三上學期強化訓練（四）數(shù)學（理）試題
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