2015-2016學(xué)年度下學(xué)期高三二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）驗(yàn)收試題（4）【新課標(biāo)】第Ⅰ卷（選擇題，共60分）選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的）1. 定義，已知。則 （ ） A. B. C. D. 2．已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為 （ ）A． B． C． D．3. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于 （ ）A. B. C. D. 4．已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“”的 （ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)函數(shù)，其中，，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （ ）A． B． C． D．6. 過(guò)原點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 7．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為 ( )A． B. C. D. 8. 執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的，則輸入整數(shù)的最小值是 ( ) A. 15 B. 14 C. 7 D. 89．已知，且，則下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10．將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數(shù)為（　 ）A．80 B．120 C．140 D．18011. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，并且在拋物線上，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為，則直線的斜率為（ ）A. B. C. D. 12．已知向量,,滿足,,.若對(duì)每一確定的,的最大值和最小值分別為，則對(duì)任意，的最小值是 ( ) A. B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是 個(gè)。14．已知滿足約束條件，且恒成立，則的取值范圍為 。15. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且對(duì)任意的都有，則 。16. 下列說(shuō)法正確的是 。 （1）從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢人員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)， 這樣的抽樣方法為分層抽樣；（2）兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，若或時(shí)，則與的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)（即有函數(shù)關(guān)系），在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上； （3）在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；（4）對(duì)于回歸直線方程，當(dāng)每增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加12個(gè)單位； （5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則。三、解答題（本題共6小題， 17-21題每題12分，選做題10分，共70分）17.（本小題共12分）在中，角所對(duì)的邊分別為，若。 （1）求證； （2）若的平分線交于，且，求的值。18.（本小題共12分）哈爾濱市第一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為。優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班10乙班30 合計(jì)110 （1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表； （2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”； （3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)。試求抽到9號(hào)或10號(hào)的概率。參考公式與臨界值表：。0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（本小題共12分）如圖，在四棱錐中，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好落在的中點(diǎn)上， 又，且 （1）求證：； （2）若，求直線與所成角的余弦值； （3）若平面與平面所成的角為，求的值。20.（本小題共12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)。（1）試問(wèn)在軸上是否存在不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由。（2）若的面積為，求向量的夾角；21. （本小題共12分）設(shè)函數(shù)。 （1）求函數(shù)的最小值； （2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （3）斜率為的直線與曲線交于,兩點(diǎn)， 求證：。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。22. （本小題共10分）如圖所示，已知是圓的直徑，是弦，，垂足為， 平分。 （1）求證：直線與圓的相切； （2）求證：。23. （本小題共10分）軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，射線為，與的交點(diǎn)為，與除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為。當(dāng)時(shí)，。（1）求，的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與軸正半軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求。24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式證明選講 已知函數(shù)。（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)的值。（2）當(dāng)且時(shí)，解關(guān)于的不等式。一選擇題：BCDAD CACDA DB二填空題：2個(gè) 2 （2）（3）（5）17解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，∴sin（A+B）=sinB， --------3分即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B． --------------6分（2）△BCD中，用正弦定理可得=，由第一問(wèn)知道C=B，而B(niǎo)D是角平分線，∴=2cos． ---------8分由于三角形內(nèi)角和為180°，設(shè) A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+=45°．--9分∵sin=，∴cos=，∴cosα=cos（45°?）=cos45°cos+sin45°sin=．∴=2cos=2cosα=．---------------12分18.（1） -------4分優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班105060乙班203050合計(jì)3080110（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2= ≈7.487＜10.828．因此按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系” -------8分（3）設(shè)“抽到9或10號(hào)”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36個(gè)．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7個(gè)．所以P(A)= ，即抽到9號(hào)或10號(hào)的概率為． -------12分19 解：因?yàn)锳B中點(diǎn)O為點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o?xyz（如圖）．（1）設(shè)BC=a，OP=h則依題意得：B（a，0，0），A（?a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（?a，2a，0）．∴=（2a，a，0），=（?a，2a，?h），于是?=?2a2+2a2=0，∴PD⊥AC；--------4分（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），——5分∵=（2a， 0，0），=（?a，2a，?a），∴?=?2a2，cos＜，＞==，∴直線PD與AB所成的角的余弦值為；-----------8分（3）設(shè)平面PAB的法向量為m，可得m=（0，1，0），設(shè)平面PCD的法向量為n=（x，y，z），由=（a，a，?h），=（?a，2a，?h），∴，解得n=（1，2，），∴m?n=2，cos＜m，n＞=，∵二面角為60°，∴=4，解得=，即=．----------------12分20.（1）由題意知：拋物線方程為：且 -------1分設(shè)設(shè)直線代入得 -------- 2分假設(shè)存在滿足題意，則 ----- ------5分 存在T（1,0）----------------6分（2）（法一） ----------------7分設(shè)直線OA,OB的傾斜角分別為，--------9分設(shè)------11分 ----------------------12分法二： -----------------------7分---------9分-------11分 --------------------12分21.（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，∴當(dāng)時(shí)，．----------------- 4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)a＜0時(shí)，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．------------------------------------8分（3）證：．要證，即證，等價(jià)于證，令，則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價(jià)于證lnt＜t?1＜tlnt（t＞1）（*）．①設(shè)g（t）=t?1?lnt（t≥1），則，故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t?1?lnt＞g（1）=0，即t?1＞lnt（t＞1）．②設(shè)h（t）=tlnt?（t?1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt?（t?1）＞h（1）=0，即t?1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得證．---------------------------------12分22. 證明：（Ⅰ）連接，因?yàn)?所以.2分又因?yàn)�，所以，又因�(yàn)槠椒�，所以�?分所以，即，所以是的切線.5分（Ⅱ）連接，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，因?yàn)椋?分所以△∽△，所以，即.10分23.（1）由得，所以的直角坐標(biāo)方程是--2分由已知得的直角坐標(biāo)方程是，當(dāng)時(shí)射線與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，-----------3分的直角坐標(biāo)方程是.①-----------5分（2）聯(lián)立與得或，不是極點(diǎn).---6分又可得， 的參數(shù)方程為② -------8分將②帶入①得,設(shè)點(diǎn)的參【新課標(biāo)版】2015屆高三下學(xué)期第四次二輪復(fù)習(xí)綜合驗(yàn)收卷 數(shù)學(xué)理
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