沈陽二中2013――2014學年度上學期期中考試高三（14屆）數學（理科）試題 說明：1.測試時間：120分鐘 總分：150分 2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應位置上 第Ⅰ卷 （60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集為,集合,,則( )A. B. C. D. 2. 如果等差數列中，，那么14 B. 21 C. 28 D. 353.設,則（　�。〢．B．C．D．4. 的三個內角所對的邊分別為，（ ）學優(yōu)A. B． C． D． 5.關于的方程的個數為A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 將函數的圖象沿軸向左平移個單位后,得到一個偶函數的圖象,則的一個可能取值為A. B. C. 0 D.7.過點作圓的兩條切線,切點分別為,,則直線的方程為B．C．D．9.雙曲線的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點（異于頂點），則直線PF的斜率的變化范圍是 （ ） A. (－∞，0) B.(1，+∞) C.(－∞，0)∪(1，+∞) D.(－∞，－1)∪(1，+∞)10.已知兩點，，點P為坐標平面內一動點，且，則動點到點的距離的最小值為（ ）A.2 B.3 C. 4 D. 611.若實數滿足，則的最大值為（ ）A. B. C. D.12. 的三個內角所對的邊分別為，給出下列三個敘述：①②③以上三個敘述中能作為“是等邊三角形”的充分必要條件的個數為（ ）A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個第Ⅱ卷 （90分） 二、填空題: 本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則k的值為 . 14. 拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為(包含三角形內部與邊界).若點是區(qū)域內的任意一點,則的取值范圍是__________.中，，，則滿足的最大正整數的值為 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分10分）在中，內角所對的邊長分別為，，，.求sinC和b的值. 學優(yōu)18. （本小題滿分12分）已知等差數列滿足，.（I）求數列的通項公式；（II）求數列的前n項和.19. （本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點A，B.l過拋物線的焦點，求的值；（II）如果，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標．20. （本小題滿分12分）小波以游戲方式決定參加學校合唱團還是參加學校排球隊.游戲規(guī)則為:以為起點,再從(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數量積為.若就參加學校合唱團,否則就參加學校排球隊.求小波參加學校合唱團的概率求的分布列和數學期望.21. （本小題滿分12分）如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點、在軸上（但不屬于），對上任一點及點，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點．（Ⅰ的方程；（Ⅱ）求的最小值（用表示）；22. （本小題滿分12分）已知函數， (I) 討論函數的單調性； (Ⅱ)當時≤恒成立，求的取值范圍． 14． 15. 16. 12三、解答題17.解：，由正弦定理可得 ……5分 由，得，由，故. ……10分18. 解：（I）設等差數列的公差為d，由已知條件可得解得故數列的通項公式為 分 （II）設數列，即，所以，當時， 所以綜上，數列 （I）由題意知，拋物線的焦點為(1,0)，設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x中消去x得，y2－4ty－4＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，＝x1x2＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.（II）設l：x＝ty＋b，代入方程y2＝4x消去x得，y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∵ ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直線l過定點(2,0)．解（I）從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有種,時,兩向量夾角為直角共有8種情形;所以小波參加學校合唱團的概率為. （II）兩向量數量積的所有可能取值為時當時,有種情形時,有8種情形時,有10種情形.所以的分布列為: ……10分. ……12分21. 解：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，. ∴的方程為. ……4分（注：不寫區(qū)間“”扣1分） www.gkstk.com 學優(yōu)（II）由（I）知，曲線的方程為，設， 則有， 即 ① 又，，從而直線的方程為 AP：； BP： ……6分 令得，的縱坐標分別為 ； . ∴ ② 將①代入②， 得 .……8分 ∴ .當且僅當，即時，取等號．即的最小值是.……12分22.解： (I)在單調遞增，在單調遞增，單調遞減……6分 (Ⅱ)等價于在恒成立，當時，，所以在單調遞增，，與題意矛盾當時，恒成立，所以在單調遞減，所以當時，，所以在單調遞增，，與題意矛盾綜上所述：……12分遼寧省沈陽二中2014屆高三上學期期中考試（數學理）
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