若T為非零常數，對于定義域內的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，則f(x)叫做周期函數，下面是函數的奇偶性與周期性專題訓練，請考生及時練習。
一、選擇題
1.設f(x)為定義在R上的奇函數.當x0時，f(x)=2x+2x+b(b為常數)，則f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3
解析 由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.則b=-1，
f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.
答案 D
2.已知定義在R上的奇函數，f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為 ().
A.-1 B.0 C.1 D.2
(構造法)構造函數f(x)=sin x，則有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一個滿足條件的函數，所以f(6)=sin 3=0，故選B.
答案 B
3.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x[3,5]時，f(x)=2-|x-4|，則下列不等式一定成立的是().
A.ff B.f(sin 1)f(sin 2)
解析 當x[-1,1]時，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，
顯然當x[-1,0]時，f(x)為增函數;當x[0,1]時，f(x)為減函數，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.
答案 A
4.已知函數f(x)=則該函數是().
A.偶函數，且單調遞增 B.偶函數，且單調遞減
C.奇函數，且單調遞增 D.奇函數，且單調遞減
解析 當x0時，f(-x)=2-x-1=-f(x);當x0時，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).當x=0時，f(0)=0，故f(x)為奇函數，且f(x)=1-2-x在[0，+)上為增函數，f(x)=2x-1在(-，0)上為增函數，又x0時1-2-x0，x0時2x-10，故f(x)為R上的增函數.
答案 C.已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數，當x[0,1)時，f(x)=4x-1，則f(-5.5)的值為()
A.2 B.-1 C.- D.1
解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.
答案 .設函數D(x)=則下列結論錯誤的是().
A.D(x)的值域為{0,1} B.D(x)是偶函數
C.D(x)不是周期函數 D.D(x)不是單調函數
解析 顯然D(x)不單調，且D(x)的值域為{0,1}，因此選項A、D正確.若x是無理數，-x，x+1是無理數;若x是有理數，-x，x+1也是有理數.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).則D(x)是偶函數，D(x)為周期函數，B正確，C錯誤.
答案 C二、填空題
.若函數f(x)=x2-|x+a|為偶函數，則實數a=________.
解析 由題意知，函數f(x)=x2-|x+a|為偶函數，則f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.
答案 0
.已知y=f(x)+x2是奇函數，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，則g(-1)=________.
解析 因為y=f(x)+x2是奇函數，且x=1時，y=2，所以當x=-1時，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.
答案 -1.設奇函數f(x)的定義域為[-5,5]，當x[0,5]時，函數y=f(x)的圖象如圖所示，則使函數值y0的x的取值集合為________.解析 由原函數是奇函數，所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關于坐標原點對稱，由y=f(x)在[0,5]上的圖象，得它在[-5,0]上的圖象，如圖所示.由圖象知，使函數值y0的x的取值集合為(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5)
10. 設f(x)是偶函數，且當x0時是單調函數，則滿足f(2x)=f的所有x之和為________.
解析 f(x)是偶函數，f(2x)=f，
f(|2x|)=f，
又f(x)在(0，+)上為單調函數，
|2x|=，
即2x=或2x=-，
整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，
設方程2x2+7x-1=0的兩根為x1，x2，方程2x2+9x+1=0的兩根為x3，x4.
則(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.
-8三、解答題
.已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f(1)，f(-1)的值;
(2)判斷函數f(x)的奇偶性.
解 (1)因為對定義域內任意x，y，f(x)滿足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.
(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函數.
.已知函數f(x)對任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0時，f(x)0，f(1)=-2.
(1)求證f(x)是奇函數;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)證明 令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，
則f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)為奇函數.
(2)解 任取x1
所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.
已知函數f(x)是(-，+)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x=1對稱，當x[0,1]時，f(x)=2x-1，
(1)求證：f(x)是周期函數;
(2)當x[1,2]時，求f(x)的解析式;
(3)計算f(0)+f(1)+f(2)++f(2016)的值.
(1)證明 函數f(x)為奇函數，則f(-x)=-f(x)，函數f(x)的圖象關于x=1對稱，則f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數.
(2) 當x[1,2]時，2-x[0,1]，
又f(x)的圖象關于x=1對稱，則f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].
(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
又f(x)是以4為周期的周期函數.
f(0)+f(1)+f(2)++f(2016)
=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.
.已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x).
(1)求證：f(x)是周期函數;
(2)若f(x)為奇函數，且當01時，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的個數.
(1)證明 f(x+2)=-f(x)，
f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，
f(x)是以4為周期的周期函數.
(2)解 當01時，f(x)=x，
設-10，則01，
f(-x)=(-x)=-x.
f(x)是奇函數，f(-x)=-f(x)，
-f(x)=-x，即f(x)=x.
故f(x)=x(-11).
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