馬德志 劉雅琴 張立兵
長期以來，中學數(shù)學的教學內(nèi)容為初等數(shù)學的基礎知識，這些基礎知識源遠流長，不可能再有什么創(chuàng)新，更不太可能要求學生發(fā)明創(chuàng)造什么新的初等數(shù)學的結論．因此，我們數(shù)學教師普遍對定理、公式課的教學重視不夠，在數(shù)學課堂中更多地重視“解題訓練”，習慣了“滿堂灌”的模式，致使學生更多地靠背誦數(shù)學的結論和公式，盲目地機械地去進行模仿，在茫茫的題海中漫游，學生不知不覺地成了知識的容器．在這樣的課堂上，學生思維的時間和空間無情地失去了．長此下去，學生很用功，書本知識很純熟，但動手能力差，學生對數(shù)學問題根本不可能進行深入的思考和探究，更不可能有創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神．
事實上，數(shù)學中的定理、公式是揭露和反映數(shù)學概念本質(zhì)屬性及屬性間的聯(lián)系的一種重要形式．而
定理、公式課的教學，不單純是讓學生知道和了解定理和公式本身，定理、公式的探索、產(chǎn)生過程，更是學生思維提升和思維訓練的良好素材，這就要求我們在數(shù)學教學中要加強定理、公式課的教學．為了更加有效地組織定理、公式課教學，我們分析了定理、公式課的特點，結合“自主互助學習型”課堂教學的教學理念，把定理、公式課分為兩種基本模式：“自學交流式”和“探究交流式”．
模式一自學交流模式
對于教學內(nèi)容中的定理、公式比較明顯，探究的價值并不大，這時不必再過多地強行進行“探究”，
而是利用此教學內(nèi)容進行自主學習方式的培養(yǎng)，更多地采用自主學習與互助交流的形式．
一、教學流程圖
二、教學環(huán)節(jié)解讀
(一)課前準備階段
“課前準備”分為三部分：①為了本節(jié)課的順利進行，圍繞本節(jié)課的定理、公式以及要解決的問題，結合以前學的知識與方法，設計一個知識鏈接的前期臺階；②為了本節(jié)課的順利進行，根據(jù)本節(jié)課的需求所做的課前準備；③有效的課前自主學習(預習)活動．
例如，在學習“平方差公式”這一節(jié)課時，由于這個公式內(nèi)容比較簡單，其課前準備可如下：
第一部分：安排學生復習整式的乘法，為學習平方差公式做好知識的銜接，復習以下兩點：
1．整式乘法的法則有哪些?
2．在進行多項式乘以多項式時，易錯點有哪些?如何克服?
第二部分：教師課前精心準備自學提綱，設置自主學習的題目和問題．本節(jié)課的自學提綱具體設計如下：
1．如圖，邊長為20厘米的大正方形中有一個邊長為8厘米的小正方形，請表示出圖中陰影部分
面積：
圖1的面積為：??
圖2的面積為：??
結論：20×20－8×8=202－82=336
(20+8)(20?8)=336
(20+8)(20－8)=202?82
你有什么發(fā)現(xiàn)?
2．利用多項式的乘法法則，計算下列各題：
(1)(x+2)(x－2)
(2)(1+3a)(1－3a)
(3)(x+5y)(x－5y)
(4)(5+b)(5－b)
(5)(2x+1/2)(2x－1/2)
(6)(－x+2)(－x－2)
3．觀察以上算式及其計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?大膽猜測得出一個一般性的結論．
第三部分：預習課本，形成對本節(jié)定理、公式的初步要求認識．
(二)課上探究階段
課上探究階段要注重課堂教學的四個重要環(huán)節(jié)，也就是課堂教學的十六字方針“自主學習，合作
探究(交流)，精講點撥，有效訓練”．
四個環(huán)節(jié)分別為：
環(huán)節(jié)一：自主學習
1．明確學習目標
(1)基本目標：這是每個學生都應達到的，通過看書學習，了解定理的內(nèi)容，能用語言表述出來；根據(jù)定理學習例題，然后能模仿例題運用定理或公式做簡單的題目．
(2)綜合目標：能對定理有深入認識，理解定理的本質(zhì)含義，會用定理解決有一定綜合性的問題．
2．提出符合本定理的學習方式要求
3．自主學習
學生通過自學課本完成或借助學案獨立完成上述目標．
4．檢測結果
由學生自評、互評，小組內(nèi)督促沒有完成的同學完成，學生盡可能完成高層次的目標要求．
例如，在教學“平方差公式”這一課時，可這樣安排學生進行自主學習．
(1)分發(fā)學案，結合課本，要求學生獨立完成學案的“自學提綱”部分(時間6分鐘)．
通過完成“自學提綱”的1、2兩組題目，使學生自主發(fā)現(xiàn)這些運算結果的規(guī)律，然后在自學提綱指導下進一步引導學生根據(jù)特例進行歸納、建立猜想、嘗試用符號語言表示，為證明這一結論做好鋪墊．在這個重要的數(shù)學探索過程中，要讓學生體會符號運算對證明猜想的作用，同時引導學生體會“數(shù)形結合”思想的重要性．而這一切都不是老師直接告訴他們的，而是學生在一步步的練習與探究中自主發(fā)現(xiàn)的，這是在此環(huán)節(jié)追求的最佳效果．
(2)在完成“自學提綱”的基礎上，個人探究公式的嚴密性，即推證公式．數(shù)學知識有著嚴密的系統(tǒng)性和邏輯性，根據(jù)這一特點，要用聯(lián)系的觀點、轉化的觀點、發(fā)展的觀點指導學生通過看書自學和動手演算，抓住新課中的主要內(nèi)容，在重點、難點、關鍵處多下工夫．在新舊知識的連接點上，教師要在學案中設計一些富有啟發(fā)性的問題(注意設計的問題要有梯度)，讓學生探究研討，釋疑解惑．
(3)簡單應用，讓學生模仿例題運用此公式做簡單的題目：
例1計算下列各題：
(1)(5+6x)(5－6x)
(2)(2x+5y)(2x－5y)
例2計算
(1)(－m+n)(－m－n)
(2)(－2x－5y)(－2x+5y)
(3)(ab+8)(－ab+8)
例3計算：1998×2002
當然，由于學生水平的差別，在以上自主學習的過程中，學生完成的質(zhì)量和收獲可能不一樣，在下一環(huán)節(jié)“合作交流”中就會得到解決．教師應要求學生把自學中有疑問的問題做好記錄，讓學生帶著問題進行交流合作．這樣做，一方面能逐步培養(yǎng)學生自主學習的能力，另一方面，又能使學生逐步養(yǎng)成良好的預習習慣和正確的自學方法．而良好的預習習慣和正確的自學方法一旦形成，往往能使學生受益終身．
環(huán)節(jié)二：合作交流
1．小組內(nèi)部交流
此環(huán)節(jié)的小組交流，是解決在“自主學習”中沒有解決的定理、公式“理解”問題，而不是單純地記住定理、公式；是糾正做題時定理、公式的使用錯誤；是糾正思維方法錯誤和解題運算錯誤．因此，課堂上此環(huán)節(jié)的合作交流，必須建立在學生獨立思考的基礎上，學生如果沒有獨立思考就參與交流，則交流無實效．有些問題能獨立解決的，就讓學生自己解決；可以兩人解決的，就兩人解決；能在小組內(nèi)解決的就不在班上解決．要建立一個“1?2?4?8一n”的合作交流秩序．在此環(huán)節(jié)中必須充分發(fā)揮小組的監(jiān)督機制．組內(nèi)每位同學先和自己的同桌討論學案中的有關問題，對一些簡單、易懂的內(nèi)容只需一帶而過，而教學中的重點、難點問題則應展開討論交流，在組內(nèi)達成共識．
例如，學習“平方差公式”這一節(jié)課時，通過小組交流學生就會發(fā)現(xiàn)在預習任務中的一些分歧，如：例2(3)．(ab+8)(－ab+8)的結果就會出現(xiàn)爭議，通過交流辯論，有的小組就會找出問題所在，從而就會引發(fā)他們?nèi)ニ伎迹捍斯降奶攸c是什么?容易出錯的地方或者在運用時應注意什么?這都可以作為每個小組的探究結果，作為各個小組認為“最有價值”的問題在下一環(huán)節(jié)進行交流．
2．組際交流(班內(nèi)展示)
組際交流采用學生說或做為主的交流形式，讓學生說出對定理的理解問題，定理使用中注意的問
題，定理的拓展與變化問題等．要在課堂中引起討論，展現(xiàn)學生的思維過程，讓學生從本質(zhì)上理解定理等．具體可這樣操作：讓每個小組的報告員代表本組向全班進行學習成果匯報，了解每個小組學習的情況，同時注意了解每個小組學習有困難學生的掌握情況．對于每個小組提出的疑問，可以請其他小組介紹解決辦法．經(jīng)驗表明：一節(jié)使學生收獲較大的課，其交流的問題一定會是有深度的，尤其是在問題被提出時，往往有一定的爭議性．
例如，教學“平方差公式”一節(jié)時，通過組際的交流，全班要達成的共識是：
平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
公式的特點：
(1)公式左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項是完全相同項，另一項是互為相
反項．
(2)公式右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
(3)此環(huán)節(jié)可以給出幾個變式：
(－a+b)(－a－b=a2－b2；(a－b)(－a－b)=b2－a2．
變式的目的是使學生明確“左邊一項相同一項相反，右邊是相同項的平方減去相反項的平方”．
另外，通過組內(nèi)及組間交流，學生對自主學習階段的例題1、2、3的解答進行了核對，查漏補缺，進一步完善，這樣也進一步加深了對平方差公式的理解．總之，組際交流時教師需要做好充分的準備，要“收”“放”得當，要抓住有利的時機，恰當?shù)剡M行精講點撥．
環(huán)節(jié)三：精講點撥
對于上述環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的重要問題，以及本課的難點，教師要及時進行引導、點撥．精講點撥是一個歸納、發(fā)展與提升的過程．
精講點撥可以由教師講，也可以由學生講．
教師在精講過程中，力爭做到以下幾點：
1．精講點撥的語言、內(nèi)容要精練，點到為止．
2．精講應具有針對性，切忌面面俱到，應根據(jù)學生自學、討論交流過程中反饋的信息展開．
3．精講點撥應具有啟發(fā)性，學生經(jīng)過老師的適當點撥能解決的問題應盡量讓學生自主解決，最大限度地發(fā)揮學生學習的積極性，培養(yǎng)學生的思維能力．
4．教師還應對學生討論交流過程中提出的具有獨創(chuàng)性的問題給予表揚，對比較幼稚的問題不應譏
笑、挖苦，以保護學生參與課堂活動的積極性．
例如，“平方差公式”一節(jié)的精講點撥：
點撥1在班級交流過程中，教師點撥學生對公式的形式、特點以及公式的變形進行研究．
點撥2在應用公式時，引導學生歸納出題目的條件與公式有差異時的解決辦法．
環(huán)節(jié)四：有效訓練
有效訓練的目的是夯實雙基，及時鞏固運用所學定理和公式解決實際問題，以確保目標達成．因
此，要精心設計訓練題．設計訓練題時要做到：①訓練題設計要有層次，體現(xiàn)不同水平學生的需求；②訓練題設計要圍繞教學重點；③訓練題設計要注意疑點、難點和易錯點；④題目要有代表性和可拓展性．
有效訓練后，要進行課堂小結．課堂小結是一節(jié)課的總結與提升，是教學目的落實的重要環(huán)節(jié)．對于定理、公式課的總結，完全可以放手讓學生來做．在開始的時候，老師要教給他們怎樣總結，總結什么．如：教給他們要總結的主要內(nèi)容是本節(jié)課自己的收獲．這些收獲包含對定理、公式的理解，規(guī)律的總結，解題方法、技巧的運用，今后學習應該注意的問題等等．
例如，“平方差公式”一節(jié)的小結：你本節(jié)課的收獲是什么?(2分鐘)
首先讓學生進行總結，強化對新知識的感知，鍛煉學生的歸納能力和表達能力．其次由老師引領總結出：本節(jié)課學了什么內(nèi)容?它有什么用處?在運用此公式時應注意的地方等內(nèi)容．如：
(1)平方差公式是特殊的多項式乘法，要理解并掌握公式的結構特征．
�、僮筮吺莾蓚�二項式相乘，其中一項完全相同，另一項互為相反項．
�、谟疫吺窍嗤椀钠椒綔p互為相反項的平方．
(2)在混合運算中，用平方差公式直接計算，所
得的結果可以寫在一個括號里，以免發(fā)生符號錯誤．
三、課后延伸階段
課后延伸包括以下幾點：
1．分層次的課后作業(yè)．作業(yè)要分層次，分為必做與選做．盡量布置一些探究性作業(yè)，要為以后的學習與發(fā)展起作用．
2．作業(yè)要建立在必要的復習鞏固之后完成．
3．課后的相關的探究活動或研究性學習等．
模式二探究交流模式
對于教學內(nèi)容中的定理與前面學過的定理相似或可以類比前面的定理時，可以應用類比的方法讓學生去探索新定理；對于一些可以通過事例歸納出的定理、公式等，可以通過用學案的形式或提供學生解決事例的辦法，由學生探索得到結論；具有比較明顯的探究價值的定理和公式，要經(jīng)常采用探究學習與互助交流的形式．
一、教學流程
二、環(huán)節(jié)解讀
(一)課前準備階段
“課前準備”分為三部分：①是為了本節(jié)課的順利進行，圍繞本節(jié)課的定理、公式以及要解決的問題，結合以前學的知識與方法，設計一個知識鏈接的前期臺階；②是為了本節(jié)課的順利進行，根據(jù)本節(jié)課的實驗、操作、演示等需求所做的課前準備；③是有效的課前自主學習(預習)活動．
例如，學習“1．4等腰三角形”一節(jié)時，可以做如下的課前準備：
1．知識鏈接的前期臺階：
(1)回顧以前學習的各種形式三角形的特征；
(2)復習角平分線的有關性質(zhì)．
2．學生每人準備白紙做的一個等腰三角形．學生準備三角板、圓規(guī)、直尺等．
(二)課上探究階段
本部分內(nèi)容的課上探究階段采用自主探究、合作交流、精講點撥、有效訓練四個重要環(huán)節(jié)進行，更注重自主探究和小組合作互助相結合．例如：
環(huán)節(jié)一：自主探究
教師提供與探究定理、公式有關的事例，包括前面學過的定理、一組有關事例、一系列有關的數(shù)或式子等．教師提出要求，由學生用類比、歸納、推理等方法自己得出結論．在教學中，教師要轉變觀念，轉換角色，要把自己置于學生學習活動的組織者、引導者和合作者的地位．做到充分相信學生，為學生營造自主探究的氛圍，搭建自主探究的平臺，創(chuàng)設自主探究的時空，依據(jù)教學目標，設計可操作的活動，讓學生自主探究新知，使其大膽去發(fā)現(xiàn)，“無拘無束”進入自主探究的過程，在探究的舞臺上盡展身手．把“教數(shù)學”變成學生自主地“學數(shù)學”．
例如，在學習“等腰三角形”一課時，可事先建議學生準備一個等腰三角形，讓學生折疊圖形，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的各個有關結論．
學生探究活動設計主要有：
1．觀察你所做的等腰三角形
通過測量、折疊等方式，觀察、分析你得到的結論，要盡可能多的結論；
2．學生將得到的結論寫在預習本上；
3．學生將得到的結論選出重要的來；
4．教師巡回指導，參與過程；得到的結論為后面的合作交流做準備．
環(huán)節(jié)二：合作交流
1．小組交流
小組交流是在學生獨立思考的基礎上進行的．小組交流解決在探索中得到的不完善的結論，使結
論趨于完善．在教學中，教師也應參與到小組交流中去，但一般應以旁觀者、建議者的身份出現(xiàn)，不應說得太多．但是，教師應不斷地各組巡回，要保證小組交流給每一位學生創(chuàng)造成功的機會；要對學生交流過程中的點滴成績，給予及時的表揚鼓勵；要正視學生之間的差異，實施有針對性的分層評價．如：你的想法很有價值；你的思維真活躍，能從不同的角度來思考問題；你能用數(shù)學的眼光來看待問題，真不錯；你觀察得真仔細，還能對觀察到的現(xiàn)象結合生活實際認真進行分析嗎……使每個學生都能體驗到探究成功的喜悅和面對失敗的勇氣，從而激發(fā)更強烈、更主動的學習欲望．
對學生在交流活動中表現(xiàn)出的自主性、主動性、創(chuàng)造性，教師應組織學生進行民主評價，使學生準確、充分和大膽地表述他們的想法和見解．如：我和他(他們)的想法是一致的；我想為某同學(小組)做一點補充；我是這樣想的，我可以為他(她)提一點建議嗎?對于這個問題我有不同的想法……優(yōu)化學生的評價語言，就能使學生自然、流暢地展現(xiàn)內(nèi)心的思維過程，同時增強了被評價者參與探究的自信和樂趣
2．組際交流(班內(nèi)展示)
組際交流采用學生說或做為主的交流形式，讓學生說出用類比、歸納、推理等方法得出的結論，然
后由學生完善結論，并通過證明等辦法將結論升華為定理、公式等，最后進一步探討定理的拓展與變化問題等．要在課堂中引起討論，展現(xiàn)學生的思維過程，讓學生從本質(zhì)上理解定理等．具體可這樣操作：讓每個小組的報告員代表本組向全班進行學習成果匯報，教師要了解每個小組學習的情況，同時注意了解每個小組學習有困難學生的掌握情況；對于每個小組提出的疑問，可以請其他小組介紹解決辦法．如果各小組均出現(xiàn)這樣的難點，這就該輪到我們老師出手了，此時也不宜給學生一股腦地講出來，而是引導、點撥，使他們突破思維障礙，經(jīng)歷柳暗花明的感覺，這是我們所追求的效果．
如教學“等腰三角形”一節(jié)，在小組討論的基礎上，通過組際交流，學生們在老師的引導點撥下，歸納總結出了等腰三角形的性質(zhì)．
如：等腰三角形ABC沿底邊上的中線．AD對折后得到：
(1)等腰三角形是軸對稱圖形；
(2)等腰三角形兩底角相等；
(3)AD是頂角平分線；
(4)AD底邊上的高；
(5)頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合；
(6)等腰三角形沿底邊上的中線對折后，兩個直角三角形重合；
(7)三角形．ABC是等邊三角形時，各角為60。；
(8)三角形ABC是等腰直角三角形時，沿中線AD對折后得到兩個等腰直角三角形；
(學生還可以歸納出很多條)
環(huán)節(jié)三：精講點撥
對于重要的問題，教師要及時地引導、點撥，進行拓展與變化，要在課堂中引起討論，激發(fā)學生的思維，讓學生從本質(zhì)上解決問題．精講點撥可以由教師講，也可以由學生講，它是一個歸納、發(fā)展與提升的過程．
環(huán)節(jié)四：有效訓練
對于得出的定理、公式等，需要通過適當?shù)木毩曨}來鞏固和夯實．鞏固訓練需要獨立完成、小組交流、組際交流等形式．課堂中的重點習題，要研討解法與思維方法，探討解決問題的不同方法，對題目要精心設計，同時還要注意進行變式訓練與歸類比較．
在有效訓練后，要進行課堂小結．課堂小結是一節(jié)課的總結與提升，是教學落實的重要環(huán)節(jié)．對于定理、公式課的總結，完全可以放手讓學生來做．
如教學“平行四邊形的性質(zhì)”一節(jié)時，學生做了如下小結：
(1)這節(jié)課我們學習了平行四邊形的邊、角(對角和鄰角)、對角線的基本性質(zhì)；
(2)學生在“合作交流”環(huán)節(jié)中探究出的有關矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的一些性質(zhì)，教師應給予肯定與鼓勵；
(3)學生總結了解平行四邊形時的識圖、用圖方法及注意事項．
在這個環(huán)節(jié)老師要及時反饋，多給學生以鼓勵，增加學生學習數(shù)學的信心，引導學生注重對數(shù)學方法和幾何思維的總結．
(三)課后延伸
課后延伸包括以下幾點：
1．分層次的課后作業(yè)
作業(yè)要分層次，分為必做與選做．盡量布置一些探究性作業(yè)，要為以后的學習與發(fā)展起作用．
2．作業(yè)要建立在必要的復習鞏固之后完成
3．是課后的相關的探究活動或研究性學習等
如講“平行四邊形的性質(zhì)”一節(jié)課后，我布置了這樣一個探究性作業(yè)：
同學們，我們課上在研究平行四邊形的性質(zhì)時，已經(jīng)順便探究出了一些特殊平行四邊形的特性，但是還不夠系統(tǒng)、條理，今天回去的作業(yè)就是繼續(xù)探究一些特殊平行四邊形的特性，并把它們歸納總結，形成各小組的研究性報告．在下一節(jié)課上我們將對此進行交流展示，看看哪個小組做得最棒!
布置此作業(yè)可使我們本節(jié)課的探究擴展延伸到課下，同時為下節(jié)課的探究展示埋下了伏筆，使我們的學習環(huán)環(huán)相扣，層層推進．
【作者簡介】馬德志，濰坊市教科院；劉雅琴，張立兵．濰坊市廣文中學．
【原文出處】《山東教育》：中學刊(濟南)，2010．637～40
來源：鳳凰數(shù)學
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuzhong/317544.html
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