山

（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，N是過點A的直線，AC=DC，DB⊥N于點B，如圖（1）．易證BD+AB= CB，過程如下：
過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE= CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB= CB．
（1）當N繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．
（2）N在繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當∠BCD=30°，BD= 時，則CD=　2　，CB=　 +1　．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3718684
分析：（1）過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE= CB，根據(jù)BE=AB?AE即可證得；
（2）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
解答：（1）如圖（2）：AB?BD= CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°?∠DCE，∠BCD=90°?∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥N，
∴∠CAE=90°?∠AFC，∠D=90°?∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AB?AE，
∴BE=AB?BD，
∴AB?BD= CB．

如圖（3）：BD?AB= CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥N，
∴∠CAE=90°?∠AFB，∠D=90°?∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AE?AB，
∴BE=BD?AB，
∴BD?AB= CB．

（2）如圖（1），過點B作BH⊥CD于點H，
∵∠ABC=45°，DB⊥N，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH= BD= × =1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH= = ，
∴CB=CH+BH= +1；

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
�。�2013•綏化）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求完成下列步驟：
（1）畫出將△ABC向右平移3個單位后得到的△A1B1C1，再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求線段B1C1旋轉(zhuǎn)到B1C2的過程中，點C1所經(jīng)過的路徑長．

考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．3718684
分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置以及利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置畫出圖形即可；
（2）根據(jù)弧長計算公式求出即可．
解答：解：（1）如圖所示：

（2）點C1所經(jīng)過的路徑長為： =2π．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與平移變換以及弧長公式應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．
�。�2013•河南）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，
∠B=∠E=30°.
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，：
①線段DE與AC的位置關(guān)系是_________；
②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是_________________.

（2）猜想論證
當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC
中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.
若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，
請直接寫出相應(yīng)的BF的長.

（2013•畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心　A　 點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)　90　 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積．

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延長線上的點，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到；
故答案為A、90；

（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．
15.（2013•昆明）在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的位置如圖所示，解答下列問題：（1）將四邊形ABCD先向左平移4個單位，再向下平 移6個單位，得到四邊形A1B1C1D1，畫出平移后的四邊形A1B1C1D1；
（2）將四邊形A1B1C1D1繞點A1逆時針旋轉(zhuǎn)90?，得到四邊形A1B2C2D2,,畫出旋轉(zhuǎn)后的四邊形A1B2C2D2，并寫出點C2的坐標。

（2013•邵陽）如圖所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個條件　∠B=90°　，使四邊形ABCD為矩形．

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的判定．
專題：開放型．
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=CD，∠BAC=∠DCA，則AB∥CD，得到四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)有一個直角的平行四邊形為矩形可添加的條件為∠B=90°．
解答：解：∵△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
當∠B=90°時，平行四邊形ABCD為矩形，
∴添加的條件為∠B=90°．
故答案為∠B=90°．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了矩形的判定．
（2013•柳州） 如圖，將小旗ACDB放于平面直角坐標系中，得到各頂點的坐標為A（?6，12），B（?6，0），C（0，6），D（?6，6）．以點B為旋轉(zhuǎn)中心，在平面直角坐標系內(nèi)將小旗順時針旋轉(zhuǎn)90°．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的小旗A′C′D′B′；
（2）寫出點A′，C′，D′的坐標；
（3）求出線段BA旋轉(zhuǎn)到B′A′時所掃過的扇形的面積．

考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；扇形面積的計算．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)平面直角坐標系找出A′、C′、D′、B′的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別寫出點A′，C′，D′的坐標即可；
（3）先求出AB的長，再利用扇形面積公式列式計算即可得解．
解答：解：（1）小旗A′C′D′B′如圖所示；

（2）點A′（6，0），C′（0，?6），D′（0，0）；

（3）∵A（?6，12），B（?6，0），
∴AB=12，
∴線段BA旋轉(zhuǎn)到B′A′時所掃過的扇形的面積= =36π．

點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形的面積計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．
（2013•茂名）在格紙上按以下要求作圖，不用寫作法：
（1）作出“小旗子”向右平移6格后的圖案；
（2）作出“小旗子”繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 后的圖案.

山
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/228333.html

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