常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè) 高三數(shù)學(xué)Ⅰ試題 2014年1月 參考公式： 樣本數(shù)據(jù)，，… ，的方差，其中=．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．設(shè)集合，，則= ▲ ． 若（，i為虛數(shù)單位的值為 ▲ ． 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則a的值為 ▲ ． 某學(xué)校選修羽毛球課程的學(xué)生中，高一，高二年級(jí)分別有80名，50名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這130名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)學(xué)生中抽取了24 名，則在高二年級(jí)學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為 ▲ ．某市連續(xù)5天測(cè)得空氣中PM2.5（直徑小于或等于2.5微米的顆粒物）分別為115，125，132，的最小正周期為 ▲ ． 已知5瓶飲料中有且僅有2瓶是果汁類飲料．從這5瓶飲料中隨機(jī)取2瓶，則所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為 ▲ ．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為 ▲ ．若曲線：與曲線：在處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 ▲ ． 給出下列命題：（1）若兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平面平行，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平面；（3）若兩個(gè)平面垂直，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面；（4）若兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面．則其中所有真命題的序號(hào)為 ▲ ．，等比數(shù)列中，，，若數(shù)列的前2014項(xiàng)的和為0，則的值為 ▲ ．已知函數(shù)f(x)＝若則k的 ▲ ．ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則 ▲ ．中，已知圓O：，點(diǎn)，M，N為圓O上不同的兩點(diǎn)，且滿足．若，則的最小值為 ▲ ．6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)向量，． （1）若，，求角A； （2）若，，求的值．16．（本小題滿分14分）如圖，在中，AB⊥BC，EF分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面ABC；⊥平面；（3）若，求三棱錐的體積．14分） 設(shè)等差數(shù)列，已知，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（），為互不相等的正整數(shù)，且等差數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E:的右準(zhǔn)線為直線l，動(dòng)直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點(diǎn)，如圖．若A，B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且． （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）如果OP是OM，OQ的等比中項(xiàng)，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．19．（本小題滿分16分）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)打印店，生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品．已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出元．假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量（件）與銷售價(jià)格（元/件）（）之間滿足如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．設(shè)該店月利潤為（元），月利潤=月銷售總額－月總成本．（1）求關(guān)于銷售價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該打印店月利潤的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格．20．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足：且，，求證：．常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè) 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 2014年1月21．【選做題】在A、B、C、D 10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4—1：幾何證明選講 如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于⊙，AB∥CD．過點(diǎn)A作⊙的切線交CD的延長線于點(diǎn)E． 求證：∠DAE=∠BAC. B．選修4—2：矩陣與變換 已知直線在矩陣，若直線過點(diǎn)（1,1），求實(shí)數(shù)a的值． C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，求點(diǎn)P到直線l的距離．D．選修4—5：不等式選講已知，，求證：．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22． (本小題滿分10分)如圖，三棱錐P－ABC，AC⊥BC，A=BC=2a，點(diǎn)OD分別是APB的中點(diǎn)⊥AB，連結(jié)CD．（1）若，求異面直線PA與D所成角余弦值的大��；（2）二面角－P－的大小為23．（本小題滿分10分） 設(shè)集合A，B是非空集合M的兩個(gè)不同子集，滿足：A不是B的子集，且B也不是A 的子集． （1）若M=，直接寫出所有不同的有序集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)； （2）若M=，求所有不同的有序集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)．常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1． 2． 3 4． 5．也對(duì)） 6． 7．8． 9．10．11．12． 13．4 14．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：，∴．由正弦定理，得．化簡，得． ………………………………………………2分∵，∴或，從而（舍）或．∴． ………………………………4分在Rt△ABC中，，． …………………………………6分（2）∵，∴．由正弦定理，得，從而． ∵，∴． 從而． ……………8分 ∵，，∴，． ……………………10分 ∵，∴，從而，B為銳角，． ………12分 ∴=． …………………………………14分16．證明：．∵直三棱柱中，是矩形， ∴點(diǎn)F在上，且為的中點(diǎn)． 在△中，∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)EF∥BC． ……………2分BC 平面ABC， EF平面ABC，所以EF∥平面ABC4分中，平面ABC，∴BC．∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF， EF． ………………………………6分，∴EF⊥平面． ………………………………8分平面A平面A． ………………………………10分 ………………………………12分． ………………………………14分17．解： 解得 …………………4分． ……………………………………………………………6分，為正整數(shù)， 由（1）得，． …………………8分，． ………………………………………10分是等差數(shù)列，，∴的公差． ………………12分，得．∴． …………………………………………14分18． 解A，B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，則，，．∵，∴由O，M，Q三點(diǎn)共線，得，化簡，得．………2分，∴，化簡，得．由 解得 …………………………………………4分E的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …………………………………………6分2）把，代入，得． ……………………………………………8分，時(shí)，，，從而點(diǎn)． ……………………………………………10分OM的方程．由 得． ……………………………………………12分，從而． ……………………………………………14分，得，從而，滿足△． ……………15分為常數(shù)． ………………………………………………………………16分19．時(shí)，，代入，解得． ………………………………………………………………2分 即 ……………4分，，，則．令，解得（舍去），．……………7分時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減． … ………………………………10分，，，∴的最大值為．………12分時(shí)，單調(diào)遞減，故此時(shí)的最大值為． … ………………………………14分時(shí)，月利潤有最大值元． ……………………15分元，此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元/件． ……16分20．的定義域?yàn)椋?（1）當(dāng)時(shí)，，，令得． ………1分+0 ?極大值 ? 所以的極大值為． …………………………………………3分 ．令，得，記． （?）當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)減區(qū)間為； …………5分時(shí)，由得， ①若，則，由，得，；由，得． 所以，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為； …………………………………………………………7分，由（1）知單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為； ③若，則， 由，得；由，得． 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為． ……9分時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為． ………………………………………………………10分（）． 由得．∵， ∴(舍)，或． ∵，∴． …………………………………12分得， 因?yàn)�，所以�?）式可化為，即． ………………………………………………14分，則，整理，得，從而，即． 記．，令得（舍），，列表：+ ??所以，在單調(diào)減，在單調(diào)增，又因?yàn)�，所以，從而�?………………………………………………16分高三數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 參考答案21、【選做題】在A、B、C、D 10分，共計(jì)20分．A．選修4—1：幾何證明選講證明：∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∴AD=BC． 從而．∴∠ACD=∠BAC. ……………………………………………………4分∵AE為圓的切線，∴∠EAD=∠ACD. …………………………………8分∴∠DAE=∠BAC. ……………………………………………………10分B．選修4—2：矩陣與變換解：設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，在矩陣上點(diǎn)，則，化簡，得 ……………………………………………4分代入，整理，得． ……………………………8分將點(diǎn)（1,1）代入上述方程，解得a=-1． ……………………………10分C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：， …………………………………………………4分直線l的普通方程為， ………………………………………8分從而江蘇省常州市2014屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（WORD版，有答案）
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